Trinomio al cubo

Existen diferentes tipos de productos notables; uno de ellos se conoce como trinomio al cubo o cubo de un trinomio; el cual es un polinomio de tres términos, elevado a la potencia tres (3); en el siguiente post estudiaremos las diferentes definiciones acerca de éste tipo de producto notable, sus formulas y aprenderemos los pasos a seguir para resolverlo.

Cubo de un trinomio

Cuando hablamos del cubo de un trinomio o trinomio al cubo nos referimos a una expresión algebraica; formada por tres términos que se pueden sumar o restar, y donde las sumas o restas están elevadas al cubo; es decir es un trinomio que se multiplica por si mismo tres veces (está elevado a la potencia 3).

Reglas de cómo se resuelve el cubo de un trinomio

La solución de un trinomio al cuadrado va a ser igual a: el cubo del primer término, más el cubo del segundo término, más el cubo del tercer término, más tres veces el producto del primer término al cuadrado por el segundo término, más tres veces el producto del primer término al cuadrado por el tercer término, más tres veces el producto del primer término por el cuadrado del segundo término, más tres veces el producto el segundo término al cuadrado por el tercer término, más tres veces el producto del primer término por el cuadrado del tercer término, más tres veces el producto del segundo término  por el cuadrado del tercer término, más seis veces el producto del primer término por el segundo término por el tercer término.

Formula de un trinomio al cubo

Las formulas o forma que tiene un trinomio al cubo es la siguiente:

(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3b^{2}c+3ac^{2}+3bc^{2}+6abc

Existen muchas otras formulas, la característica de las formulas es la misma, pero todo dependerá de los signos (operaciones) formadas entre los términos.

Ejercicios de trinomio al cuadrado, 4 ejemplos resueltos

1.-      \small \left(x^{2}-x+1 \right)^{3}=\left [x^{2}+(-x)+1)\right]^{3}=(x^{2})^{3}+(-x)^{3}+(1)^{3}+3(x^{2})^{2}(-x)

\small +3(x^{2})^{2}(1)+3(x^{2})(-x)^{2}+3(-x)^{2}(1)+3(x^{2})(1)^{2}+3(-x)(1)^{2}+6(x^{2})(-x)(1)

\small =x^{6}-x^{3}+1-3x^{5}+3x^{4}-3x^{4}-3x^{2}+3x^{2}-3x-6x^{3}=x^{6}-3x^{5}-7x^{3}-3x+1

2.-    (3x^{2}+x+2)^{3}= (3x^{2})^{3}+(x)^{3}+2^{3}+3(3x^{2})^{2}(x)+3(3x^{2})^{2}(2)+3(3x^{2})(x)^{2}

\small +3(x)^{2}(2)+3(3x^{2})(2)^{2}+3(x)(2)^{2}+6(3x^{2})(x)(2)

=27x^{6}+x^{3}+8+27x^{5}+54x^{4}+9x^{4}+6x^{2}+36x^{2}+12x+36x^{3}

=27x^{6}+27x^{5}+63x^{4}+37x^{3}+42x^{2}+12x+8

3.-   (x^{2}-x-3)^{3}= \left [x^{2}+(-x) +(-3) \right ]^{3}=(x^{2})^{3}+(-x)^{3}+(-3)^{3}+3(x^{2})^{2}(-x)

\small +3(x^{2})^{2}(-3)+3(x^{2})(-x)^{2}+3(-x)^{2}(-3)+3(x^{2})(-3)^{2}+3(-x)(-3)^{2}+6(x^{2})(-x)(-3)

=x^{6}-x^{3}-27-3x^{5}-9x^{4}+3x^{4}-9x^{2}+27x^{2}-27x+18x^{3}

\small =x^{6}-3x^{5}-6x^{4}+17x^{3}+18x^{2}-27x-27

4.- \small (2x^{2}+3x-3)^{3}=\left [ 2x^{2}+3x+(-3) \right ]=(2x^{2})^{3}+(3x)^{3}+(-3)^{3}

\small +3(2x^{2})^{2}(3x)+3(2x^{2})^{2}(-3)+3(2x^{2})(3x)^{2}+3(3x)^{2}(-3)+3(2x^{2})(-3)^{2}+3(3x)(-3)^{2}

\small +6(2x^{2})(3x)(-3)

\small =8x^{6}+27x^{3}-27+36x^{5}-36x^{4}+54x^{4}-81x^{2}+54x^{2}+81x-108x^{3}

\small =8x^{6}+36x^{5}+18x^{4}-81x^{3}-27x^{2}+81x-27