Trayectorias ortogonales con ejercicios resueltos paso a paso

Se dice que una familia de curvas T(x, y, k) = 0 (k una constante arbitraria) es una trayectoria ortogonal para una familia de curvas F(x,y,C) = 0  dada, si cualquier curva de la familia T corta a cada uno de los miembros de la familia de curvas $ F(x, y, C) = 0  bajo un ángulo recto.

Procedimiento para hallar las trayectorias Ortogonales

Dado el haz de curvas F(x,y,C) = 0, para determinar las trayectorias ortogonales se realizará el siguiente procedimiento:

Paso 1:

Obtener la E.D.O asociada al haz de curvas F(x, y, C) = 0, es decir

F(x, y, y^{\prime} ) = 0

Paso 2:

Debe sustituirse y^{\prime}, en la E.D.O obtenida en el paso anterior, por -\dfrac{1}{y^{\prime}} y así se obtiene la E.D.O asociada a la trayectoria ortogonal

F\left( x, y, -\dfrac{1}{y^{\prime}} \right) = 0

Paso 3:

Se resuelve la ecuación diferencial obtenida en el paso 2, para obtener la trayectoria ortogonal

T(x, y, k) = 0

Trayectorias Ortogonales ejercicios resueltos

Ejemplo 1

Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de rectas que pasan por el origen, $ y=mx $

Solución:

Paso 1:

Obtener la E.D.O asociada al haz de curvas y=mx, para ello se deriva la ecuación dada con respecto a x

y^{\prime} = m

para eliminar la constante arbitraria m se sustituye y^{\prime} en la ecuación del haz, obteniéndose la ecuación diferencial

y=xy^{\prime}

Paso 2

Debe sustituirse y^{\prime}, en la E.D.O obtenida en el paso anterior, por -\dfrac{1}{y^{\prime}} y así se obtiene la E.D.O asociada a la trayectoria ortogonal

y=x\left( -\dfrac{1}{y^{\prime}}\right)

Paso 3:

Se resuelve la ecuación diferencial obtenida en el paso 3, para obtener la trayectoria ortogonal. Para ello ordenamos la E.D.O

yy^{\prime}=-x

También puede escribirse como

y\dfrac{dy}{dx}=-x

Finalmente resolvemos esta ecuación diferencial, la cual es de variables separables

xdx+ydy=0

Integrando se obtiene la solución general

\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{2}=k

o bien

x^{2}+y^{2}= K

Por lo tanto la trayectoria ortogonal de la familia de rectas dadas es una familia de circunferencia con centro en el origen,como se observa en la  Figura.

Trayectorias ortogonales
Ejercicio resuelto Nro 2 de trayectoria ortogonales

Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias que pasan por el origen y tienen centro sobre el eje x

Trayectoria ortogonal, pasos para resolver un ejercicio

Se debe determinar la ecuación de la familia de circunferencias, para ello se emplea la ecuación ordinaria:

\left( x-h\right)^{2} + \left( y-k\right)^{2} = r^{2}

debido a que el centro esta sobre el eje x, se tiene que k = 0

\left( x-h\right)^{2} + \left( y\right)^{2} = r^{2}

para relacionar h y r, se sustituye el origen en la ecuación, obteniéndose

\left( 0-h\right)^{2} + \left( 0\right)^{2} = r^{2}

por lo tanto

h^{2} = r^{2}

la ecuación de la familia de circunferencias depende de una constante esencial h, observe

\left( x-h\right)^{2} + \left( y\right)^{2} = h^{2}

ordenando

x^{2} - 2hx + y^{2} = 0

Paso 1 Obtener la E.D.O asociada al haz de curvas

En una publicación anterior se determino la ecuación diferencial asociada a la familia de circunferencias con centro sobre el eje x y que pasan por el origen, haz click aquí para ver.

Para obtener la E.D.O asociada al haz x^{2} - 2hx + y^{2} = 0 se deriva implícitamente la ecuación 

2x - 2h + 2yy^{\prime} = 0

para eliminar la constante arbitraria h se despeja de la ecuación derivada y se sustituye en la ecuación del haz, obteniéndose la ecuación diferencial

y^{2} - x^{2} - 2xy{y}' = 0

Paso 2: Debe sustituirse {y}', en la E.D.O obtenida en el paso anterior, por -\dfrac{1}{y}'

Con esta sustitución se obtiene la E.D.O asociada a la trayectoria ortogonal

y^{2} - x^{2} - 2xy\left(- \dfrac{1}{y'}\right) = 0

Paso 3: Se resuelve la ecuación diferencial obtenida en el paso 2, para obtener la trayectoria ortogonal.

Para ello ordenamos la E.D.O

2xydx + \left( y^{2} - x^{2}\right)dy = 0

esta ecuación diferencial es homogénea de grado 2. También puede resolverse por reducible a exacta, ya que admite un factor integrante que depende de y, observe que \dfrac{\partial P}{\partial y} = 2x y \dfrac{\partial Q}{\partial x} = -2x, por lo tanto

f(y)=\dfrac{2x-(-2x)}{-2xy} = \dfrac{4x}{-2xy} = -\dfrac{2}{y}

determinando el factor integrante \mu(y) se tiene que

\mu(y) = e^{\displaystyle{\int} \frac{-2}{y}\, dy } = e^{-2Lny} = e^{Lny^{-2}}=\dfrac{1}{y^{2}}

Multiplicando la E.D.O por el factor integrante, se obtiene

\dfrac{2x}{y}dx + \left( 1-\dfrac{x^{2}}{y^{2}}\right)dy = 0

que es una E.D.O exacta, para resolver la E.D.O exacta se integra respecto a x, obteniéndose

U(x,y) = \int_{y=ctte}^{x} 2\dfrac{x}{y}dx + h(y) = \dfrac{x^{2}}{y} + h(y)

para determinar h(y), se tiene que \dfrac{\partial U}{\partial y} = Q por lo tanto

-\frac{x^{2}}{y^{2}} + {h}'(y) = \left( 1-\frac{x^{2}}{y^{2}}\right)

despejando e integrando para obtener h(y)

h(y) = {\int} dy = y

finalmente la solución general es

\dfrac{x^{2}}{y} + y = k

ordenando la solución obtenida  se tiene x^{2} + y^{2} = ky, por lo tanto la trayectoria ortogonal es una familia de circunferencias con centro sobre el eje y que pasan por el origen,como se observa en la  Figura 2

ejercicio resuelto de trayectoria ortogonal

Cerrar menú