Un tema de gran importancia en las matemática; especialmente en la geometría son los ángulos. A continuación en el post estudiaremos las diferentes definiciones de ángulos y sus tipos.

Qué es un ángulo

Una definición particular de ángulo, es que se conoce como una figura que se forma por dos lineas que tienen un origen en común.

En cuanto al ángulo que se forma a través de dos curvas, podemos decir que va a ser aquel ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto que éstas se interceptan.

En fin, un significado de ángulo podría ser:

Ángulo significa figura formada por dos elementos, los cuales están unidos por un extremo.

Existen diferentes definiciones de ángulo en matemática; por eso para saber qué son los ángulos? desde diferentes puntos de vista, señalamos las siguientes:

Que es un ángulo en geometría

Un ángulo en geometría, es una porción del plano, la cual está comprendida por dos semirrectas o lineas de cualquier tipo que tienen un origen en común llamado vértice.

Significado de ángulo en trigonométrica

En trigonométrica un ángulo, se conoce como la amplitud formada por la rotación o el giro de un segmento que es rectilíneo en cuanto a uno de sus extremos llamado vértice; tomado desde una posición llamada inicial hasta otra posición llamada final. Es importante destacar que si la rotación o giro es contraria a el giro de las manecillas del reloj, entonces el ángulo es positivo; mientras que si la rotación es en el mismo sentido de las agujas del reloj entonces el ángulo es negativo.

Concepto de ángulo según euclides

La definición de ángulo según Euclides es la siguiente: un ángulo se conoce como la inclinación existente entre dos lineas que se encuentran entre si en algún punto del plano aun cuando no están en linea recta.

Partes o elementos de un ángulo

Un ángulo está formado por:

  1. Dos lados ( formados por cada recta o linea).
  2. Un vértice (formado por el origen de cada linea o recta, donde ellas de unen).

Ejemplo de ángulo y las partes de un ángulo

Es importante saber, que dos lineas ubicadas en un plano y que tienen un origen en común siempre producen dos ángulos.

Angulos

Cómo se representan los ángulo

Para la representación de un ángulo podemos utilizar:

  1. Las letras minúsculas del alfabeto latino; que son utilizadas para nombrar cada ángulo por separado.
  2. Las letras griegas como alfa (∝) beta (ß), entre otros; que también se utilizan para nombrarlos por separado.
  3. Otra manera de representarlos es usando las letras mayúsculas; esto es cuando se nombra cada semirrecta y el vértice, ejemplo: si tenemos la recta A y la recta B, ambas unidas forman el vértice C, entonces el ángulo formado por ellas lo podemos representar asi: angulo ACB (∠ACB) o angulo BCA (∠BCA).

Cómo se miden los ángulos

Cuando hablamos de la medida de los ángulos, nos referimos a su amplitud; es decir, el tamaño que tiene el ángulo o el recorrido que hace un lado para llegar a la posición del otro lado, girando alrededor del vértice que ambos forman.

Debemos tener presente que la amplitud de todo ángulo no va a depender del tamaño de sus lados; es decir sin importar que un lado tenga mayor tamaño que el otro lado, la amplitud siempre va a ser igual.amplitud de un angulo

Para realizar la medida de ángulos utilizamos una herramienta graduada llamada transportador de ángulos. Estos transportadores mayormente tienen una escala interior y otra escala exterior las cuales son utilizadas para medir los ángulos según la orientación que éstos tengan.

Ahora bien, para realizar la medida de un ángulo usando el transportador debemos seguir los pasos siguientes:

  1. Colocamos el transportador de modo que uno de los lados del ángulo coincida con la linea de forma horizontal que tiene el transportador.
  2. Al mismo tiempo de efectuar el paso uno (1) debemos hacer que el vértice coincida con el centro del semicírculo que tiene el transportador marcado con una linea que está de forma vertical.
  3. Estando colocado el transportador en las posiciones indicadas en el paso uno (1) y paso dos (2) nos fijamos en el otro lado del ángulo y sobre la graduación del transportador veremos la amplitud que tendrá el ángulo que se esta midiendo.

Debemos tener presente que:

4. Si el ángulo, tiene su orientación hacia la derecha se utiliza la escala interior; y si el ángulo tiene su orientación hacia la izquierda se utiliza la escala exterior, siempre empezando por los 0°.

5. Los ángulos se miden en distintas maneras: en grados sexagesimales (un grado equivales a 60 minutos), en grados centesimales (un grado equivales a 100 minutos), en radianes (0° equivalen a 0 radianes, 90° equivalen a π/2 radianes, 180° equivalen a π radianes y 360° equivalen a 2π radianes).

Ejemplo de cómo se miden los ángulos

ejemplo de como se miden los angulo

Solución:

Lo primero que tenemos que hacer es, colocar el transportador de modo que uno de los lados del ángulo coincida con la linea de forma horizontal que tiene el transportador; hacemos que el vértice del ángulo coincida con el centro del semicírculo que tiene el transportador, luego nos fijamos en el otro lado del ángulo y sobre la graduación del transportador veremos la amplitud que tendrá el ángulo que se esta midiendo; es decir:

ejemplo de como se miden los angulos parte 2

Como se puede observar éste ángulo tiene una medida de 90 grados (90°).

Conversiones o transformaciones de unidades en los ángulos

Existen diferentes transformaciones de unidades en los ángulos; a continuación estudiaremos algunas:

Transformación o conversión de grados a radianes

Para realizar una transformación de la unidad grado a la unidad radianes debemos tener presente que:

conversion de grados a radianes

Podemos utilizar cualquiera de las dos condiciones, y solo tenemos que multiplicar los grados a transformar por los radianes que conocemos y posteriormente dividir el resultado de la multiplicación por los 180 grados o por los 360 grados dependiendo de la condición que estemos utilizando.

Ejemplos cómo transformar o convertir de grados a radianes

1.-   Transformar 45 grados a radianes

Se explicará éste usando las dos condición y se observará que se obtiene el mismo resultado

Solución 1:

Utilizando la primera condición hacemos una regla de tres

ejercicio 1 transformacion de grados a radianes

Resolvemos, multiplicamos los grados a transformar por los radianes que conocemos y posteriormente dividimos el resultado de la multiplicación por los 360°

\frac{45^{\circ}*2\pi radianes}{360^{\circ}}=\frac{90^{\circ}\pi radianes }{360^{\circ}}=\frac{1\pi }{4}radianes=\frac{\pi }{4}radianes

Solución 2:

Utilizando la segunda condición hacemos una regla de tres

ejercicio 2 transformacion de grados a radianes

Resolvemos, multiplicamos los grados a transformar por los radianes que conocemos y posteriormente dividimos el resultado de la multiplicación por los 180°

\frac{45^{\circ}*\pi radianes}{180^{\circ}}=\frac{45^{\circ}\pi radianes }{180^{\circ}}=\frac{1\pi }{4}radianes=\frac{\pi }{4}radianes

Transformación o conversión de radianes a grados

Para realizar una transformación de la unidad radian a la unidad grados, al igual que en el caso anterior debemos tener presente lo siguiente:

conversion de grados a radianes

Igual que en la transformación de grados a radianes en esta conversión, podemos utilizar cualquiera de las dos condiciones, pero en este caso solo tenemos que multiplicar los radianes a transformar por los grados que conocemos  y posteriormente dividir el resultado de la multiplicación por los π radianes o por los 2π radianes, dependiendo de la condición que estemos utilizando.

Ejemplos cómo transformar o convertir de radianes a grados

1.-   Transformar  \small \frac{5\pi radianes}{3}     a grados

Se explicará éste problema usando las dos condición y se observará que se obtiene el mismo resultado

Solución 1:

Utilizando la primera condición hacemos una regla de tres

ejercicios 2 transformación de radianes a grados

Resolvemos, multiplicamos los radianes a transformar por los 360° que conocemos y posteriormente dividimos el resultado de la multiplicación por los 2π radianes

\frac{\frac{5\pi radianes}{3}*360^{\circ}}{2\pi radianes}=\frac{\frac{1800^{\circ}\pi radianes}{3}}{2\pi radianes}=\frac{600^{\circ}\pi radianes}{2\pi radianes}=300^{\circ}

Solución 2:

Utilizando la segunda condición hacemos una regla de tres

ejercicio 1 transformación de radianes a grados

Resolvemos, multiplicamos los radianes a transformar por los 180° que conocemos y posteriormente dividimos el resultado de la multiplicación por los π radianes

\frac{\frac{5\pi radianes}{3}*180^{\circ}}{\pi radianes}=\frac{\frac{900^{\circ}\pi radianes}{3}}{\pi radianes}=\frac{300^{\circ}\pi radianes}{\pi radianes}=300^{\circ}

 

Los ángulos en la vida cotidiana

Los ángulos tienen una gran importancia para la vida cotidiana, y para el hombre ya que son de gran utilidad en la construcción y en cada una de las cosas que utilizamos; por ejemplo: podemos decir que cuando estamos en el balcón de una casa nos encontramos con un ángulo agudo; también en (las puertas, ventanas, en la mesa, o diversas construcciones) podemos observar ángulos rectos; ademas en los postes de luz observamos ángulos obtusos; en los sube y baja de los parque de niños podemos encontrarnos con ángulos llanos; o en las escaleras podemos encontrar ángulos cóncavos; en (las llantas de un auto, en platos, vasos) nos encontramos con ángulos completos; o también rejillas podemos observar ángulos opuestos por el vértice; en la mesa de comer si es cuadrada o rectangular podemos formar ángulos suplementarios.

El uso de la geometría o particularmente de los ángulos, es tan extenso, que si partimos un pastel por la mitad o en diferentes partes vemos ángulos conjugados; o en nuestra vestimenta que es algo que usamos a diario, debemos saber que para que sus medidas sean perfectas hacemos el uso de distintos tipos de éstos.

En fin los ángulos son de un uso indispensable para el hombre en su diario vivir, porque se puede decir que todo posee algún tipo de ángulo y que todas las cosas que nos rodean están hechas a partir de la geometría y la trigonométrica. Es importante mencionar que en algunos casos se puede escuchar decir que no se sabe del uso de los ángulos en la vida; ésto sucede porque en muchos de los casos los utilizamos sin darnos cuenta.

Clasificación de los ángulos

Pueden hacerse distintas clasificaciones de los ángulos de acuerdo a sus medidas, la relación que guardan entre ellos y las suma de las medidas entre ellos, si deseas conocer mas sobre ello puedes consultar la publicación específica sobre la clasificación y tipos de ángulos que existen

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