Cuando estudiamos las formas o comportamiento de una función, al gratificarlas nos encontramos con ciertos términos como lo son cóncavo y convexo. En esta ocasión vamos a definir estos términos y como determinarlos  aplicando derivada.

Concavidad y convexidad

Se define como cóncavo cuando la función o su gráfica es una curva hacia adentro y convexo cuando la curva va hacia fuera como se observa en la figura.

Pero en matemática cuando estudiamos derivadas nos encontramos con algunos autores donde solo hablan de cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo, utilizando este ultimo termino como un sinónimo de convexo.

Como calcular la concavidad y convexidad

Para conocer la convexidad y concavidad de una función, hay que calcular en primer lugar el punto de inflexión, el cual consiste en un punto en la gráfica donde ocurre el cambio de cóncavo a convexo o viceversa, este se obtiene a partir de la igualación de la segunda derivada a cero.

Una vez conocido el punto de inflexión se evalúa la segunda derivada, tomando dos valores cualquiera, uno a la derecha y otro a la izquierda del punto de inflexión, donde:

.- si {f}''(x) > 0  es decir, positivo para x=a la función es convexo

.- si {f}''(x) < 0  es decir, negativo para x=a la función es cóncavo

Vamos a ver con un ejercicio;

Calcular la concavidad y convexidad de la función f(x)= x^{3}+2x^{2}-10x

Primer paso: Calcular la primera deriva.

{f(x)}'= (x{^{3})}'+{(2x^{2})}'-{(10x)}'

{f(x)}'= 3x^{2}+4x-10

Segundo paso: Calcular la segunda derivada, la cual consiste en derivar a la primera.

{f(x)}''= {(3x^{2})}'+{(4x)}'-{10}'

{f(x)}''= 6x+4

Tercer paso: Calcular el punto de inflexión, para ello igualamos la segunda derivada a cero.

6x+4=0

6x=-4

x=\frac{-4}{6}

x=\frac{-2}{3}

Cuarto paso: Evaluar la segunda derivada, para ello se selecciona un valores a la derecha y otro  a la izquierda del punto de inflexión.

Los valores a utilizar son; X_{1}= -1              X_{2}= 1

{f(-1)}''= 6(-1)+4

{f(-1)}''= -6+4

{f(-1)}''= -2

Cuando x asume el valor de -1 el resultado es negativo, lo cual indica que la función en este punto es cóncavo.

{f(1)}''= 6(1)+4

{f(1)}''= 6+4

{f(1)}''= 10

Cuando x asume el valor de 1 el resultado es positivo, lo cual indica que la función en este punto en convexo.