Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

A continuación se presentarán las definiciones básicas necesarias para el estudio de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior y luego se hablará de los métodos a emplear para hallar la solución general de dichas ecuaciones diferenciales.

E.D.O Lineal de Orden Superior de Coeficientes Constantes

Una E.D.O lineal de orden $ n $ con coeficientes constantes tiene la forma

a_{0}\dfrac{d^{n}y}{dx^{n}}+a_{1}\dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\ldots+a_{n-1}\dfrac{dy}{dx}+a_{n}y=q\left( x\right) \,\,\, (1)

en donde los coeficientes a_{i}\in \Re , \; i = 0,1,2,\ldots,n son constantes, a_{0}\neq0 $ y $ q(x) será continua en un intervalo abierto I=(a,b) $. Si $ q(x)=0 se dice que la ecuación (1) es una ecuación lineal homogénea.

a_{0}\dfrac{d^{n}y}{dx^{n}}+a_{1}\dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\ldots+a_{n-1}\dfrac{dy}{dx}+a_{n}y=0\,\,\, (2)

en cambio si q(x)\neq0 la ecuación es no homogénea o completa.

En cursos previos, se ha establecido que, D=\dfrac{d}{dx}, es un operador o transformación lineal, es decir
\dfrac{d}{dx}\left( c_{1}y_{1}+ c_{2}y_{2}\right) = c_{1}\dfrac{d}{dx}y_{1}+c_{2}\dfrac{d}{dx}y_{2}

Notación Abreviada

En el estudio de la ecuación diferencial lineal de orden superior, ecuación (1), se utilizarán los operadores lineales D, D^{2}, D^{3}\ldots D^{n}, los cuales definen la operación de derivar de la manera siguiente
D=\dfrac{d}{dx}, D^{2}=\dfrac{d^{2}}{dx^{2}}, D^{3}=\dfrac{d^{3}}{dx^{3}}\ldots D^{n}=\dfrac{d^{n}}{dx^{n}}
Mediante esta notación se puede escribir la ecuación (1) como

a_{0}D^{n}y+a_{1}D^{n-1}y+\ldots+a_{n-1}Dy+a_{n}y=q\left( x\right)\,\,\, (3)

debido a que D=\dfrac{d}{dx} es un operador lineal, D^{2}, D^{3},\ldots D^{n} también lo son, y como todos estos operadores son aplicados a la misma función, entonces la ecuación (3) puede escribirse como

\left( a_{0}D^{n}+a_{1}D^{n-1}+\ldots+a_{n-1}D+a_{n}\right)y =q\left( x\right)\,\,\, (4)

o bien para abreviar la ecuación (4) puede escribirse como

P\left( D\right)y=q\left( x\right)\,\,\, (5)

considerando el operador diferencial lineal P(D) de orden n como un polinomio simbólico en D, con todas las propiedades inherentes a los polinomios algebraicos, mientras que P(D)y indicará el conjunto de operaciones a realizar con la función y.

Ejemplos

Estos son algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior:

  • \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}-3\dfrac{dy}{dx}+2y=sen(x) E.D.O lineal de segundo orden de coeficientes constantes.
  • x^{2} y^{\prime \prime}+8xy^{\prime}+6y=\dfrac{\ln \arrowvert x \arrowvert}{x} E.D.O lineal de segundo orden de coeficientes variables.
  • y^{\prime \prime \prime}+3 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-3y=e^{x} E.D.O lineal de tercer orden.
  • \dfrac{d^{4}y}{dx^{4}}+y=0 E.D.O lineal de cuarto orden de coeficientes constantes homogénea.

Solución de una E.D.O Lineal de Orden Superior

Una función y=f(x) se denomina solución de una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden superior dada, si la ecuación se satisface cuando y y sus derivadas se sustituyen por f(x)  y sus derivadas.

Ejemplo 1

Comprobar que las funciones y_{1}=e^{x} $ y $ y_{2}=e^{5x} son solución de la E.D.O y^{\prime \prime}-6y^{\prime}+5y=0
SOLUCIÓN:

La función y_{1}=e^{x} es solución de la ecuación diferencial ordinaria, ya que y^{\prime}=e^{x} y y^{\prime \prime}=e^{x} , luego sustituyendo, queda

\underbrace{e^{x}}_{y^{\prime \prime}}-6\underbrace{e^{x}}_{y^{\prime}} +5\underbrace{e^{x}}_{y}=0

Por lo tanto, se concluye que si es solución, pero así mismo se puede comprobar que y=\dfrac{1}{2}e^{x}, y=3e^{x}, y=-5e^{x} son también soluciones de la misma E.D.O. Así, todas las funciones de la forma: y=c_{1}e^{x} donde c_{1} es un número real arbitrario, son soluciones de la E.D.O dada.

También se puede comprobar de la misma manera, que y=c_{2}e^{5x} es solución de la E.D.O y^{\prime \prime}-6y^{\prime}+5y=0, ya que y^{\prime}=5c_{2}e^{5x} y y^{\prime \prime}=25c_{2}e^{5x}, luego sustituyendo, queda:

\underbrace{25c_{2}e^{5x}}_{y^{\prime \prime}}-6\underbrace{(5c_{2}e^{5x})}_{y^{\prime}} +5\underbrace{c_{2}e^{5x}}_{y}=0

Una propiedad útil de la E.D.O lineal homogénea de segundo orden es que la suma de dos soluciones cualesquiera, también es solución, por lo tanto y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{5x} es solución de la ecuación diferencial ordinaria dada.

Como se definió anteriormente, una solución de este tipo, que contiene una o más constantes arbitrarias, se denomina solución general de la E.D.O dada, la cual contiene tantas constantes arbitrarias como lo indique el orden de la E.D.O.

TEOREMA

Si y_{1},y_{2},\ldots,y_{n} son $ n $ soluciones de la ecuación P(D)y=0, entonces

y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+\ldots+c_{n}y_{n}

es solución de P(D)y=0.

La solución general de una E.D.O debe contener tantas constantes como lo indique el orden de la ecuación diferencial; por lo tanto, es de esperarse que la E.D.O homogénea (2) tenga una solución general con $ n $ constantes arbitrarias esenciales de integración c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}, así se puede decir, que la solución general tiene la forma

y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+\ldots+c_{n}y_{n}

que es una combinación lineal de $ n $ soluciones particulares de la ecuación (2) y_{1},y_{2},\ldots,y_{n} linealmente independientes entre sí.

Dependencia Lineal e Independencia Lineal

Un conjunto de funciones \{y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots,y_{n}(x)\} es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}, no todas cero, tales que

c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x)+\ldots+c_{n}y_{n}(x)=0\,\,\, (6)

para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.
Observe que c_{1}=c_{2}=\ldots=c_{n}=0 es un conjunto de constantes que siempre satisfacen la ecuación (6). Un conjunto de funciones es linealmente dependiente si existe otro conjunto de constantes, no todas cero, que también satisfacen (6).

El Determinante Wronskiano

Suponga que cada una de las funciones y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots,y_{n}(x) posee al menos n-1 derivadas. El determinante de nxn
W_{(y_{1},y_{2},...,y_{n})}=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} & \cdots & y_{n} \\ y_{1}^{\prime} & y_{2}^{\prime} & \cdots & y_{n}^{\prime} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_{1}^{(n-1)} & y_{2}^{(n-1)} & \cdots & y_{n}^{(n-1)} \end{vmatrix} (1)

se llama el Wronskiano del conjunto dado de funciones, en esta publicación puedes ver un ejemplo de aplicación del determinante Wronskiano.

TEOREMA Criterio para soluciones linealmente independientes

Sean n soluciones particulares de la ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo orden (2) en el intervalo I. El conjunto de soluciones es linealmente independiente en I sí y sólo si W\left(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}\right)\neq0 en al menos un valor x\in I.

CONJUNTO FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES

Cualquier conjunto y_{1},y_{2},\ldots,y_{n} de n soluciones linealmente independientes de la E.D.O lineal homogénea de n-ésimo orden (2) en un intervalo I es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.

TEOREMA Solución general de una E.D.O homogénea de n-ésimo orden

Sean y_{1},y_{2},\ldots,y_{n} un conjunto fundamental de soluciones de la E.D.O lineal homogénea de n-ésimo orden (2) en el intervalo I. Entonces la solución general de la ecuación en el intervalo es

y=c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x)+\ldots+c_{n}y_{n}(x)

donde c_{1},c_{2},\ldots,c_{n} son constantes arbitrarias esenciales.

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