Método del operador inverso para resolver EDO no homogéneas

A continuación te mostramos en este post problemas resueltos paso a paso de la aplicación del operador inverso, si quieres ver los conceptos básicos o las fórmulas del operador inverso haz click aquí.

Te invitamos a seguir leyendo y tomar lápiz y papel para que ejercites los pasos necesarios para aplicar el operador inverso, ya que son una herramienta que nos permite hallar la solución particular de una E.D.O lineal de orden superior completa. Esperamos que estos ejercicios te ayuden a entender el tema.

Ejemplos de aplicación del operador inverso

Ejemplo 1:

Aplicar el siguiente operador inverso: \frac{1}{D^{3} + 4D^{2} + 5D + 2}e^{-x}
Solución:
En este caso no se puede utilizar la formula 1, (si quieres ver las formulas para aplicar los operadores haz click aquí ) ya que al evaluar el polinomio P\left ( D \right ) en a = -1 el polinomio se anula, por lo tanto se debe aplicar la formula 2,

\frac{1}{P\left ( D \right )}e^{ax} = \frac{x^{k}e^{ax}}{k!G\left ( a \right )}  si  P\left ( a \right ) = 0,

donde al factorizar el polinomio P\left ( D \right ) se obtiene

P\left ( D \right ) = \left ( D + 2 \right )\left ( D + 1 \right )^{2}

siendo G\left ( D \right ) = \left ( D + 2 \right ) el factor que no anula y k = 2 ya que el factor que anula D + 1 se repite dos veces, por lo tanto al emplear la formula 2 se tiene que

\frac{1}{D^{3} + 4D^{2} + 5D + 2}e^{-x} = \frac{e^{-x}x^{2}}{2!\left ( -1 + 2 \right )} = \frac{e^{-x}x^{2}}{2}


Ejemplo 2:

Aplicar el siguiente operador inverso: \frac{1}{D^{4} + 4D^{2} + 2}\sin \left ( x \right )
Solución:
En este caso utilizaremos la formula 3,

\frac{1}{P\left ( D^{2} \right )}\sin \left ( ax \right ) = \frac{1}{P\left ( -a^{2} \right )}\sin \left ( ax \right )  si  P\left ( -a^{2} \right ) \neq 0,

que consiste en sustituir D^{2} por -a^{2}, para este ejemplo a = 1, por lo tanto -a^{2} = -1.

Entonces al emplear la formula 3 se tiene que

\frac{1}{D^{4} + 4D^{2} + 2}\sin \left ( x \right ) = \frac{1}{\left ( D^{2} \right )^{2} + 4D^{2} + 2}\sin \left ( x \right ) = \frac{1}{\left ( -1 \right )^{2} + 4\left ( -1 \right ) + 2}\sin \left ( x \right )

\frac{1}{D^{4} + 4D^{2} + 2}\sin \left ( x \right ) = \frac{\sin \left ( x \right )}{-1} = -\sin \left ( x \right )

Ejemplo 3:

Aplicar el siguiente operador inverso: \frac{1}{D^{5} + 8D^{3} + 16D}\cos \left ( 2x \right )
Solución:
En este caso utilizaremos la formula 4,

\frac{1}{P\left ( D^{2} \right )}\sin \left ( ax \right ) = x^{k}\frac{1}{\frac{d^{k}}{dD^{k}}P\left ( D^{2} \right )}\sin\left ( ax \right ) si P\left ( -a \right )^{2} = 0,

ya que al sustituir D^{2} por -a^{2}, el polinomio se anula. Para este ejemplo a = 2, por lo tanto -a^{2} = -4.
Al factorizar el polinomio tenemos que

P\left ( D^{2} \right ) = D^{5} + 8D^{3} + 16D = D\left ( D^{2}+4 \right )^{2}

siendo \left ( D^{2} + 4 \right ) el factor que anula y k = 2 ya que el factor que anula se repite dos veces, por lo tanto se debe derivar dos veces el polinomio. Entonces al emplear la formula 4 se tiene que

\frac{1}{D^{5} + 8D^{3} + 16D}\cos \left ( 2x \right ) = x^{2}\frac{1}{20D^{3} + 48D}\cos \left ( 2x \right ) = x^{2}\frac{1}{D\left ( 20D^{2} + 48 \right )}\cos \left ( 2x \right )

para luego aplicar la formula 3 que consiste en sustituir D^{2} por -a^{2} = -4

\frac{1}{D^{5} + 8D^{3} + 16D}\cos \left ( 2x \right ) = x^{2}\frac{1}{D\left ( 20\left ( -4 \right ) + 48 \right )}\cos \left ( 2x \right ) = \frac{x^{2}}{-32}\frac{1}{D}\cos \left ( 2x \right )

Para aplicar el operador inverso se debe recordar que \frac{1}{D}f(x) = \int f(x)dx, por lo tanto

\frac{1}{D^{5} + 8D^{3} + 16D}\cos \left ( 2x \right ) = -\frac{x^{2}}{32}\int \cos \left ( 2x \right )dx = -\frac{x^{2}}{64}\sin \left ( 2x \right )

Observación: es importante que recuerdes que las formulas 3, 4 y 7 también son validas para el \cos \left ( ax \right ), como en este ejemplo.

Ejemplo 4:

Aplicar el siguiente operador inverso: \frac{1}{D + 3}\cos \left ( 2x \right )
Solución:
En este caso se debe utilizar un artificio matemático, aplicar la conjugada del operador tanto directo como inverso, para poder aplicar la formula 3 ya que no hay D^{2} en el operador

\frac{1}{D + 3}\cos \left ( 2x \right ) = \frac{1}{D + 3} \frac{1}{D - 3}\left ( D - 3 \right )\cos \left ( 2x \right ) = \left ( D - 3 \right )\frac{1}{D^{2} - 9}\cos \left ( 2x \right )

ahora podemos aplicar la formula 3 que consiste en sustituir D^{2} por -a^{2} = -4

\frac{1}{D + 3}\cos \left ( 2x \right ) = \left ( D - 3 \right )\frac{1}{D^{2} - 9}\cos \left ( 2x \right ) = \left ( D - 3 \right )\frac{1}{-4-9}\cos \left ( 2x \right ) = -\left ( D - 3 \right )\frac{\cos \left ( 2x \right )}{13}

finalmente aplicamos el operador directo \left ( D - 3 \right ), recordando que D = \frac{d}{dx} es el operador derivada, es decir

\frac{1}{D + 3}\cos \left ( 2x \right ) = \frac{D\left ( \cos \left ( 2x \right ) \right ) - 3\cos \left ( 2x \right )}{13} = \frac{2\sin \left ( 2x \right ) + 3\cos \left ( 2x \right )}{13}

Es importante resaltar que esto es lo que representa la fórmula 7, observe la similitud

\frac{1}{P\left ( D \right )}\sin \left ( ax \right ) = A(a)\sin\left ( ax \right ) + B(a)\cos \left ( ax \right )

Integración de EDO completa empleando el método del operador inverso

Luego de explicar como aplicar el operador inverso a funciones de $x$, ahora te mostramos en este post problemas resueltos paso a paso de como emplear el operador inverso para hallar la solución de una E.D.O Lineal de orden superior completa, si quieres ver los conceptos básicos o las fórmulas del operador inverso haz click aquí.

Te invitamos a seguir leyendo y tomar lápiz y papel para que ejercites los pasos necesarios para hallar la solución general de una E.D.O Lineal de orden superior completa. Esperamos que estos ejercicios te permitan comprender el tema.

Ejemplo 1:

Determinar la solución general de la E.D.O

y^{\prime \prime \prime}+2y^{\prime \prime}-5y^{\prime}-6y=e^{2x}

SOLUCIÓN:
Al escribir la E.D.O en notación abreviada se tiene

\left( D^{3}+2D^{2}-5D-6\right)y =e^{2x}

Paso 1: Obtener la solución complementaria u homogénea y_{c} que resulta de hacer q(x)= 0.

Por lo tanto la ecuación característica es

\alpha^{3}+2\alpha^{2}-5\alpha-6 =0

Entonces para hallar las raíces se emplea el método de Ruffini

  $1$ $2$ $-5$ $-6$
$-1$ $\downarrow$ $-1$ $-1$ $6$  
  $1$ $1$ $-6$ $0$
$2$ $\downarrow$ $2$ $6$  
  $1$ $3$ $0$
$-3$ $\downarrow$ $-3$  
  $1$ $0$

Por lo tanto factorizando se obtiene

\left(\alpha+1 \right)\left(\alpha-2 \right)\left(\alpha+3 \right) =0 \rightarrow \begin{cases} \alpha = -1 & \text{ raiz real simple}\\ \alpha = 2 & \text{ raiz real simple}\\ \alpha = -3 & \text{ raiz real simple} \end{cases}

Así pues, como las raíces son reales y distintas la solución general de la ecuación homogénea o complementaria es:

y_{c}=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{2x}+c_{3}e^{-3x}

Paso 2: Obtener la solución particular y_{p} que resulta de aplicar el operador inverso:

y_{p} =\dfrac{1}{P(D)}q(x)=\dfrac{1}{ D^{3}+2D^{2}-5D-6}e^{2x}

En este caso no podemos utilizar la formula 1, ya que al evaluar el polinomio P(D) en a=2 el polinomio se anula, por lo tanto se debe aplicar la formula 2,

\dfrac{1}{P(D)}e^{ax}=\dfrac{x^{k}e^{ax}}{k! G(a)} si  P(a) =0 ,

donde al factorizar el polinomio $ P(D) $ se obtiene

P(D)=\left(D+1 \right)\left(D-2 \right)\left(D+3 \right)

siendo G(D)=(D+1)(D+3) el factor que no anula y k=1 ya que el factor que anula D-2  es simple, por lo tanto al emplear la formula 2 se tiene que
y_{p}=\dfrac{1}{D^{3}+2D^{2}-5D-6}e^{2x}=\dfrac{xe^{2x}}{1! \left(2+1\right)\left(2+3\right) } =\dfrac{xe^{2x}}{15}

Paso 3: La solución general de la ecuación (D^{3}+2D^{2}-5D-6)y=e^{2x} viene dada por:

y=y_{c}+y_{p}

es decir que la solución general viene dada por la suma de las soluciones obtenidas, o sea
y=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{2x}+c_{3}e^{-3x}+\dfrac{xe^{2x}}{15}

Ejemplo 2:

Obtener la solución general de la ecuación diferencial 

\dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}+\dfrac{dy}{dx}=cos(2x)

SOLUCIÓN:
Al escribir la E.D.O en notación abreviada se tiene
D3+Dy=cos(2x) \left( D^{3}+D\right)y =cos(2x)

Paso 1: Obtener la solución complementaria u homogénea y_{c} que resulta de hacer q(x)= 0.

Por lo tanto la ecuación característica es

\alpha^{3}+\alpha =0

para hallar las raíces se factoriza el polinomio

\alpha \left(\alpha^{2}+1 \right)=0

Observe que \alpha=0 es una raíz real simple y \left( \alpha^{2}+1\right), es una raíz compleja simple, por lo tanto se tiene

\alpha^{2}+1=0 \rightarrow \alpha^{2}=-1 \rightarrow \alpha = \pm i \rightarrow \begin{cases} a = 0 & \text{ parte real}\\ b = 1 & \text{ parte imaginaria} \end{cases}

es decir que las raíces del polinomio característico son

\alpha \left(\alpha^{2}+1 \right) =0 \rightarrow \begin{cases} \alpha = 0 & \text{ raiz real simple }\\ \alpha = \pm i & \text{ raiz compleja simple} \end{cases}

Por lo tanto, usando el principio de superposición para escribir la solución complementaria, se tiene:

y_{c}=c_{1}e^{0x}+e^{0x}\left[ c_{2} cos(x)+ c_{3}sen(x)\right]

es decir

y_{c}=c_{1}+ c_{2} cos(x)+ c_{3}sen(x)

Paso 2: Obtener la solución particular $ y_{p} $ que resulta de aplicar el operador inverso:

y_{p}=\dfrac{1}{D^{3}+D}cos(2x)

En este caso debe utilizar la formula 3, \dfrac{1}{P(D^{2})}sen(ax)=\dfrac{1}{P(-a^{2})}sen(ax) si P(-a^{2})\neq 0, que consiste en sustituir D^{2} por -a^{2}, para este ejemplo a=2, por lo tanto -a^{2}=-4. Entonces al emplear la formula 3 se tiene que

y_{p}=\dfrac{1}{D(D^{2}+1)}cos(2x)=\dfrac{1}{D}\left( \dfrac{1}{D^{2}+1}cos(2x)\right)

empleando la fórmula 3 se tiene que:

y_{p}=\dfrac{1}{D}\left( \dfrac{1}{-4+1}cos(2x)\right) = -\dfrac{1}{D}\dfrac{cos(2x)}{3}

Para aplicar el operador inverso se debe recordar que \dfrac{1}{D}f(x)=\displaystyle{\int} f(x)dx, por lo tanto

y_{p}=-\dfrac{1}{D}\dfrac{cos(2x)}{3}= -\dfrac{1}{3} \displaystyle{\int} cos(2x) dx=-\dfrac{sen(2x)}{6}

Paso 3: La solución general de la ecuación (D^{3}+D)y=cos(2x) viene dada por:

y=y_{c}+y_{p}

es decir que la solución general viene dada por la suma de las soluciones obtenidas, o sea

y=c_{1}+ c_{2} cos(x)+ c_{3}sen(x)-\dfrac{sen(2x)}{6}

Observación Importante

El método del operador inverso se emplea para hallar la solución general de la ecuación P(D)y=q(x), en el caso de que q(x) pertenezca al conjunto de funciones de la forma \left\lbrace e^{ax},\, sen(ax),\, cos(ax), \, e^{ax}v,\, xv \, y \, x^{k}\right\rbrace; sin embargo, sino se puede aplicar el operador inverso existe Variación de parámetros (haz click aquí para conocer más de este método).

Ejercicios Propuestos:

  1. Determinar la solución general de la E.D.O
    y^{\prime \prime \prime}+y=e^{-x}cos(x) 
  2. Obtener la solución general de la ecuación diferencial
    \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}+\dfrac{dy}{dx}= x^{2} 
  3. Obtener la solución general de la ecuación diferencial
    \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}+\dfrac{dy}{dx}+y=xcos(x)
  4. Determinar la solución general de la E.D.O (empleando Variación de Párametros)
    y^{\prime \prime}+3y^{\prime}+2y=sen\left( e^{x}\right)VER SOLUCIÓN
  5. Determinar la solución general de la E.D.O (empleando Variación de Párametros)
    y^{\prime \prime}+y=tg\left( x\right)VER SOLUCIÓN
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