Ejercicios resueltos de factor integrante

A continuación se presentan una serie de ejercicios que servirán para afianzar los conocimientos adquiridos mediante la explicación y estudio del factor integrante.

Para este particular nos enfocaremos en la resolución de una ecuación diferencial reducible a exacta.

PASOS PARA DETERMINAR UN FACTOR INTEGRANTE DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL NO EXACTA

Ejemplo 2

Resolver la E.D.O

\left ( 3x^{3}y + y \right )dx + \left ( y^{2} - x^{3} \right )dy = 0

Solución:

Paso 1: Identificar si la ecuación diferencial dada es exacta:

Observe que esta ecuación diferencial no es exacta, ya que sus derivadas parciales son distintas

\frac{\partial P}{\partial y} = 3x^{2} + 2y  y  \frac{\partial Q}{\partial x} = -3x^{2}

Paso 2: Probar si la ecuación diferencial admite un factor integrante.

 

Primero probaremos si admite un factor integrante que depende de x

f(x) = \frac{3x^{2} + 2y - \left ( -3x^{2} \right )}{y^{2} - x^{3}} = \frac{2\left ( 3x^{2} + y \right )}{y^{2} - x^{3}}

La E.D.O no admite un factor integrante de x, ya que f no depende solo de x, entonces probamos si la E.D.O admite un factor integrante de y.

f(y) = \frac{2\left ( 3x^{2} + y\right )}{-\left ( 3x^{2}y + y^{2} \right )} = \frac{2\left ( 3x^{2} + y \right )}{-y\left ( 3x^{2} + y \right )} = -\frac{2}{y}

se concluye entonces que la E.D.O admite un factor integrante de y, ya que f es una función que depende solo de y.

Paso 3: Determinar el factor integrante \mu.

Determinando el factor integrante \mu(y) se tiene que

\mu(y) = e^{\int \frac{-2}{y}dy} = e^{-2\ln y} = e^{\ln y^{-2}} = \frac{1}{y^{2}}

Paso 4: Multiplicar la E.D.O por el factor integrante \mu.

Multiplicando la E.D.O por el factor integrante, se obtiene

\left ( \frac{3x^{2}}{y} + 1\right )dx + \left ( 1-\frac{x^{3}}{y^{2}} \right )dy=0

que es una E.D.O exacta,ya que \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-3x^{2}}{y^{2}}  y  \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{-3x^{2}}{y^{2}}.

Paso 5: Resolver la E.D.O exacta.

Para resolver la E.D.O exacta se integra respecto a x, obteniéndose

U\left ( x,y \right ) = \int_{y=ctte}^{x}\left ( \frac{3x^{2}}{y} + 1\right )dx + h\left ( y \right )

Al separar las integrales se observa que ambas son inmediatas

U\left ( x,y \right ) = \frac{3}{y}\int_{y=ctte}^{x}x^{2}dx + \int_{y=ctte}^{x}dx + h\left ( y \right ) = \frac{x^{3}}{y}+x+h\left ( y \right )

para determinar h\left ( y \right ), se tiene que \frac{\partial U}{\partial y} = Q por lo tanto

-\frac{x^{3}}{y^{2}} + {h}'\left ( y \right ) = 1 - \frac{x^{3}}{y^{2}}

despejando e integrando para obtener h\left ( y \right )

h\left ( y \right ) = \int dy = y

finalmente la solución general es

\frac{x^{3}}{y}+x+y=C

Ejemplo 3

Determinar la solución general de la E.D.O

\left ( y + x^{3}y + 2x^{2} \right )dx + \left ( x + 4xy^{4} + 8y^{3}\right )dy = 0

Solución:

Paso 1: Identificar si la ecuación diferencial dada es exacta:

Observe que esta ecuación diferencial no es exacta, ya que sus derivadas parciales son distintas

\frac{\partial P}{\partial y} = x^{3} + 1  y  \frac{\partial Q}{\partial x} = 1 + 4y^{4}

Ahora procederemos a buscar un factor integrante que transforme la ecuación diferencial a exacta.

Paso 2: Probar si la ecuación diferencial admite un factor integrante.

Primero probaremos si admite un factor integrante que depende de x

f\left ( x \right ) = \frac{x^{3} + 1 - \left ( 1 + 4y^{4} \right )}{x + 4xy^{4} + 8y^{3}} = \frac{x^{3} - 4y^{4}}{x + 4xy^{4} + 8y^{3}}

La E.D.O no admite un factor integrante de x, ya que f no depende solo de x, entonces probamos si la E.D.O admite un factor integrante de y.

f\left ( y \right ) = \frac{x^{3} - 4y^{4}}{-\left ( y + x^{3}y + 2x^{2} \right )}

La E.D.O tampoco admite un factor integrante de y, observe que si probamos con v = xy se tiene:

f\left ( xy \right ) = \frac{x^{3} - 4y^{4}}{y\left ( x + 4xy^{4} + 8y^{3} \right )-x\left ( y + x^{3}y + 2x^{2} \right )}

factorizando y simplificando se obtiene

f\left ( xy \right ) = \frac{x^{3} - 4y^{4}}{-\left ( xy + 2 \right )\left ( x^{3} + 4y^{4} \right )} = \frac{-1}{xy + 2}

se concluye entonces que la E.D.O admite un factor integrante que depende de xy.

Paso 3: Determinar el factor integrante \mu.

Determinando el factor integrante \mu \left ( xy \right ) se tiene que

\mu \left ( xy \right ) = e^{\int \frac{-1}{xy + 2}d\left ( xy \right )} = e^{-\ln \left ( xy + 2 \right )} = e^{\ln \left ( xy + 2 \right )^{-1}} = \frac{1}{xy + 2}

Paso 4: Multiplicar la E.D.O por el factor integrante \mu.

Multiplicando la E.D.O por el factor integrante y simplificando, se obtiene

\left ( x^{2} + \frac{y}{xy + 2}\right )dx + \left ( 4y^{3} + \frac{x}{xy + 2}\right )dy = 0

que es una E.D.O exacta, ya que \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{2}{\left ( xy + 2 \right )^{2}}  y  \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{2}{\left ( xy + 2 \right )^{2}}.

Paso 5: Resolver la E.D.O exacta.

Para resolver la E.D.O exacta se integra respecto a x, obteniéndose

U\left ( x,y \right ) = \int_{y=ctte}^{x}\left ( x^{2} + \frac{y}{xy + 2} \right )dx + h\left ( y \right )

Al separar las integrales se observa que ambas son inmediatas

U\left ( x,y \right ) = \int_{y=ctte}^{x}x^{2}dx + \int_{y=ctte}^{x}\frac{1}{xy + 2}d\left ( xy + 2 \right ) + h\left ( y \right )

integrando

U\left ( x,y \right ) = \frac{x^{3}}{3} + \ln \left ( xy + 2 \right ) + h\left ( y \right )

para determinar h\left ( y \right ), se tiene que \frac{\partial U}{\partial y} = Q por lo tanto

\frac{x}{xy + 2} + {h}'\left ( y \right ) = 4y^{3} + \frac{x}{xy + 2}

despejando e integrando para obtener h\left ( y \right )

h\left ( y \right ) = \int 4y^{3}dy = y^{4}

finalmente la solución general es

\frac{x^{3}}{3} + \ln \left ( xy + 2 \right ) + y^{4} = C

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