Polinomios

Los polinomios son conocidos hoy en día como un tema fundamental en el álgebra, ya que son utilizados para resolver una gran variedad de problemas matemáticos; por esa razón en el siguiente post te mostraremos la variedad de definiciones de polinomios, sus partes y cuales son los diferentes tipos de polinomios existentes.

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Que es polinomio

Un polinomio podemos decir que representa varios monomios. En ellos las variables estarán siempre  elevadas a un número entero y positivo. En los polinomios, se pueden combinar operaciones como: suma, resta, multiplicación; pero las divisiones no están permitidas. Los polinomios son expresiones algebraicas de gran importancia en el álgebra porque a través de ellos podemos encontrar un valor desconocido de cualquier elemento (variable o incógnita).

Función polinómica

Es aquella función que depende de un polinomio.

Podemos decir que una función polinómica P:R\rightarrow R  es una función que se escribe de la forma:{\color{blue} P(x)= a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}

donde: a_{n},a_{n-1}.....,a_{2},a_{1},a_{0} son llamados coeficientes.

a_{n} es el coeficiente de x^{n}, a_{n-1} es el coeficiente de x^{n-1}, a_{2} es el coeficiente de x^{2}, a_{1} es el coeficiente de x^{1}, a_{0} es el coeficiente de x^{0}=1.

a_{n}x^{n},a_{n-1}x^{n-1},....,a_{2}x^{2},a_{1}x,a_{0}x^{0} son llamados términos.

n, n-1, 2, 1 , 0 son numero enteros positivo que se llaman exponentes de cada término.

Ejemplos de función polinómica

a)  P(x)= 10^{3}-150x + 500

b)  Q(x)= 10x^{5}-\frac{1}{5}x^{2}-3x+7

c)   R(x)= 5xy^{2}+3x-5

Se puede observar que en las funciones polinómicas los exponentes siempre son positivos.

Ejemplo que no son funciones polinómicas

a)   P(x)=\frac{1}{x}+6   porque en los polinomios no están permitidas las divisiones.

b)   Q(x)=\frac{(x-1)}{x}   porque no están permitidas las divisiones.

c)   G(x)=x+3x^{-1}  porque el exponente es negativo.

Elementos de un polinomio

Un polinomio esta formado por diversos elementos entre ellos tenemos:

  1. Los términos.
  2. Término principal de un polinomio.
  3. Término independiente.
  4. Los coeficientes.
  5. Coeficiente principal de un polinomio.
  6. Variable del polinomio.
  7. Grado de la variable.
  8. Grado del polinomio.

Términos de un polinomio

Son aquellos que forman el polinomio; pueden estarse sumando o restando.

Termino principal de un polinomio

Es aquel monomio que tiene mayor grado en el polinomio.

Termino independiente de un polinomio

Es aquel término que no contiene variable.

Ejemplo de términos de un polinomio

Términos de un Polinomio

Coeficientes de un polinomio

Son aquellos números que multiplican a la variable.

Coeficiente principal de un  polinomio

Este es el que tiene que acompaña al termino principal.

Ejemplo de coeficientes de un polinomio

Coeficientes de un polinomio

Variable del polinomio

Es la letra que multiplica al coeficiente.

Grado de los términos

Éste lo indica el exponente que tenga cada variable que acompaña a cada término.

Grado del polinomio

Éste lo indica el exponente que tenga mayor valor.

Ejemplo de grado de un polinomio, grado de la variable y la variable de un polinomio

Grado del polinomio

Clasificación de los polinomios

Los polinomios tienen varias clasificaciones entre ellas tenemos:

  1. Según su número de términos.
  2. Según su grado.
  3. Otros polinomios especiales.

Tipos de polinomios según sus términos

  1. Monomios.
  2. Binomios.
  3. Trinomios.

Así sucesivamente se les va dando el nombre, según la cantidad de términos que tenga el polinomio.

Tipos de polinomios según el grado

  1. Polinomio nulo.
  2. Primer grado.
  3. Segundo grado.
  4. Tercer grado.

Así sucesivamente se les va dando el grado, según el mayor exponente que tengas en el polinomio.

Polinomios especiales

  1. Polinomio identidad.
  2. Polinomio constante.
  3. Polinomios completos.
  4. Polinomios incompletos.

Qué es un monomio

Es aquel polinomio que está formado por un solo término.

Ejemplos de monomio

a)  P(x)=-2x^{3}

b)  G(x)=\frac{2}{4}x^{5}

C)  H(x)=-x^{4}

Binomio

Es aquel polinomio formado por dos términos.

Ejemplos de binomio

a)   P(x)=10X^{5}-X^{4}

b)   G(x)=X^{3}+1

c)   R(x)=\frac{7}{9}x^{2}+6

Qué es un trinomio

Es aquel polinomio que tiene tres términos.

Ejemplos de trinomio

a)   P(x)=x^{5}-x^{4}-15x^{2}

b)  R(x)=x^{9}-52x^{3}+\frac{4}{3}x

c)   Q(x)=x^{2}-2x+1

Qué es un polinomio nulo

Es aquel polinomio donde los coeficientes son todos iguales a cero (0).

Ejemplos de Polinomio nulo

a)   P(x)= 0

b) R(x)=0x^{3}+0x^{2}+0

Polinomio de primer grado

Es aquel polinomio donde la variable está elevada al exponente uno (1). Se escribe de la forma P(x)= ax+b; donde (a y b) son constantes  y a≠0

Ejemplos de Polinomio de primer grado

a)   P(x)= -2x+3

b)   G(x)=x-\frac{1}{2}

c)   R(x)= x-4

Polinomio de segundo grado

Es aquel polinomio donde el exponente de mayor valor es dos (2).

Ejemplos de Polinomio de segundo grado

a)   4x^{2}+5x-3

b)   \frac{4}{3}x-12x^{2}

c)   x^{2}+6

Polinomio de tercer grado

Es aquel polinomio donde el exponente de mayor valor es tres (3).

Ejemplos de Polinomio de tercer grado

a)   6x^{3}-4x^{2}-3x+7

b)   -4x+3x^{3}-5x^{2}

c)   -5x^{3}+45

d)   3x^{3}+5x-8

Qué es un polinomio identidad

La función polinómica asociada al polinomio identidad es P(x)=x. Como se puede observar para cada valor de (x) asume el mismo valor de (x).

Ejemplos de Polinomio identidad

a)   P(1)= 1

b)   G(3)= 3

c)   R_{\left ( \frac{1}{2} \right )}=\frac{1}{2}

Polinomio constante

Es aquel polinomio que está formado por un solo término constante.

Ejemplos de Polinomio constante

a)   P(x)= 10

b)   G(x)= -2

Polinomios completos

Un polinomio es completo si todos sus coeficientes son distintos de cero(0).

Ejemplos de Polinomio completos

a)  R(x)=4x^{2}+3x-6 es completo porque su mayor exponente es dos (2 ) y esta seguido del exponente uno (1 ) y luego del exponente cero (0); es decir no falta ningún término.

b)    G(x)=5x^{6}-3x^{5}-8x^{4}+2x^{3}-x^{2}+5x-6

c)   P(x)=4x^{2}+6x^{3}-5x+7

d)   H(x)=2x^{2}-3x+7

Polinomios incompletos

Un polinomio es incompleto cuando alguno de sus coeficientes, es igual a cero(0).

Ejemplos de Polinomio incompletos

a)   P(x)= 3x^{2}+6 es incompleto porque falta el coeficiente en el termino con exponente uno (1).

b)   G(x)=-3x^{4}+6x-8x^{2}+6  es incompleto porque falta el coeficiente en el termino con exponente tres (3).

c)   R(x)= 9x^{7}-3x^{5}+2x^{4}-8+4x^{2}   falta el coeficiente en el termino con exponente (6, 3, 1).

d)   S(x)=8x^{3}+4x^{2}-9x    falta el termino independiente.

Orden de un polinomio

Los polinomios se pueden ordenar de dos formas:

  1. De forma creciente.
  2. De forma decreciente.

Cómo se ordena un polinomio de forma creciente

Para ordenar un polinomio de forma creciente, se deben colocar los términos, según su grado, es decir de menor a mayor.

Ejemplos de orden de polinomios de forma creciente

Ordenar los siguientes polinomios de forma creciente:

a)   9x^{5}+6x^{10}+3+5x^{3}+2x^{4}

Solución:

3+5x^{3}+2x^{4}+9x^{5}+6x^{10}

b)   -2y^{4}+y^{10}-\frac{3}{5}y^{2}+4y^{5}-11+\frac{3}{7}y^{7}-y^{8}

Solución:

-11-\frac{3}{5}y^{2}-2y^{4}+4y^{5}+\frac{3}{7}y^{7}-y^{8}+y^{10}

c)   4x^{4}+5x^{5}-3x^{2}+7-3x^{3}-4x

Solución:

7-4x-3x^{2}-3x^{3}+4x^{4}+5x^{5}

d)   6x^{3}-x^{2}+x^{80}+3x^{56}-5x^{31}+18

Solución:

18-x^{2}+6x^{3}-5x^{31}+3x^{56}+x^{80}

Cómo se ordena un polinomio de forma decreciente

Para ordenar un polinomio de forma decreciente, se deben colocar los términos, según su grado, es decir de mayor a menor.

Ejemplos de orden de polinomios de forma decreciente

Ordenar los siguientes polinomios de forma decreciente:

a)   9x^{5}+6x^{10}+3+5x^{3}+2x^{4}

Solución:

6x^{10}+9x^{5}+2x^{4}+5x^{3}+3

b)   -2y^{4}+y^{10}-\frac{3}{5}y^{2}+4y^{5}-11+\frac{3}{7}y^{7}-y^{8}

Solución:

y^{10}-y^{8}+\frac{3}{7}y^{7}+4y^{5}-2y^{4}-\frac{3}{5}y^{2}-11

c)   4x^{4}+5x^{5}-3x^{2}+7-3x^{3}-4x

Solución:

5x^{5}+4x^{4}-3x^{3}-3x^{2}-4x+7

d)   6x^{3}-x^{2}+x^{80}+3x^{56}-5x^{31}+18

Solución:

x^{80}+3x^{56}-5x^{31}+6x^{3}-x^{2}+18