Límites Laterales

Durante la definición de límite, se estableció un criterio necesario para la existencia del mismo, como lo es, la presencia de limites laterales. es decir, al evaluar a la función F(x) tanto por la derecha como por la izquierda, sus resultados deben ser iguales a L, denotándose: $\lim_{x\rightarrow a{+}}F(x)=\lim_{x\rightarrow a{-}}F(x)=L$

donde:

$\lim_{x\rightarrow a{+}}F(x)$ es el límite por la derecha y

$\lim_{x\rightarrow a{-}}F(x)$ es el límite por la izquierda

Definición de límites laterales.

Por definición se dice que el límite de una función por la derecha existe si y solo si para cada $\varepsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que si $0< x -a< \delta$ entonces el valor absoluto de la función menos L debe se menor $\varepsilon L$ .

Si el límite de un F(x) cuando tiende (a) son lo Reales, al evaluar por la izquierda existe, si y solo si, para cada $\varepsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que si $0< a -x< \delta$ entonce, el valor absoluto de la F(x) menos los reales debe ser menor a $\varepsilon \mathbb{R}$ .

Si revisas la definición intuitiva de limites podrás visualizar un ejemplo para la comprensión de limites laterales, pero repasemos nuevamente la definición con otro ejemplo:

$\lim_{x\rightarrow 1}= x^{2}+x+1$

Consideremos dos valor cercano a uno por la izquierda como 0,999 y 0,995 al sustituirlos en la función se obtiene para el primer valor Y= 2,997 y para el segundo valor Y= 2,98, al ser redondeando sería 3 para ambos casos.

Si analizamos la función por la derecha con dos valores cercanos a x=1, se obtendría;

para X= 1,001 Y adquiere el valor de 3,003

para X= 1,020 Y adquiere el valor de 3,06, en ambos casos si se redondea el valor de Y seria 3.

Con los cálculos anteriores y observando la gráfica se concluye:

.- Existen los limites laterales por tanto existe el límite de la función.

.- El $\lim_{x\rightarrow 1{+}}F(x)=\lim_{x\rightarrow 1{-}}F(x)= 3$ , por ser el mismo valor se dice que la función es continua.

Cuando el limite de una función tiende a (a) y su valor es infinito, estamos en presencia de una función discontinua, es decir, la función en ese punto presenta una discontinuidad, por ejemplo:

$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{1}{x-3}$ si resolvemos el limite obtenemos que;

$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{1}{x-3}= \frac{1}{3-3}$

$=\frac{1}{0}=\infty$ quiere decir, que en el punto X=3 estamos en presencia de una asíntota vertical y para definir si la discontinuidad tiende al infinito positivo y/o negativo evaluamos la función, para ello se asigna valores próximo a 3 tanto por la derecha como por la izquierda;

por la izquierda consideramos el valor 2,999 que al sustituir se obtiene

$\frac{1}{x-3}=\frac{1}{2,999-3}$

$=-\infty$

por la derecha consideramos el valor de 3,001 y al sustituir

$\frac{1}{x-3}=\frac{1}{3,001-3}$

$=\infty$

como por la izquierda da -∞ y por la derecha +∞, gráficamente la función seria:

concluyendo que el $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{1}{x-3}$ por la derecha la función tiende hacia el infinito positivo y por la izquierda tiende la función al infinito negativo haciéndose próximos al valor de 3 sin adquirir nunca este valor, dado que este valor no pertenece al dominio de la función.

Otro ejemplo de limites laterales para una función discontinua seria;

$\lim_{x\rightarrow 5}=\frac{1}{(X-5)^{2}}$ si evaluamos la función,

$\lim_{x\rightarrow 5}=\frac{1}{(5-5)^{2}}=\infty$

para calcular el límite lateral por la derecha consideramos x=5,001 y por la izquierda 4,999 obteniendo

$\lim_{x\rightarrow 5^{+}}=\frac{1}{(X-5)^{2}}=\infty$

$\lim_{x\rightarrow 5^{^{-}}}=\frac{1}{(X-5)^{2}}=\infty$

Concluyendo que la función tanto por la derecha como por la izquierda tiende al infinito sin tomar el valor de 5, su gráfica seria: