Durante la definición de  límite, se estableció un criterio necesario para la existencia del mismo, como lo es, la presencia de limites laterales. es decir, al evaluar a la función F(x) tanto por la derecha como por la izquierda, sus resultados deben ser iguales a L, denotándose:\lim_{x\rightarrow a{+}}F(x)=\lim_{x\rightarrow a{-}}F(x)=L

donde:

\lim_{x\rightarrow a{+}}F(x) es el límite por la derecha y

\lim_{x\rightarrow a{-}}F(x) es el límite por la izquierda

Definición de límites laterales.

Por definición se dice que el límite de una función por la derecha existe  si y solo si para cada \varepsilon > 0  existe un  \delta > 0 tal que si   0< x -a< \delta    entonces  el valor absoluto de la función menos L debe se menor  \varepsilon L.

Si el límite de un F(x) cuando tiende (a) son lo Reales, al evaluar por la izquierda existe, si y solo si,  para cada \varepsilon > 0  existe un  \delta > 0 tal que si   0< a -x< \delta entonce,  el valor absoluto de la F(x) menos los reales debe ser menor a \varepsilon \mathbb{R}.

Si revisas la definición intuitiva de limites podrás visualizar un ejemplo para la comprensión de limites laterales, pero repasemos nuevamente la definición con otro ejemplo:

\lim_{x\rightarrow 1}= x^{2}+x+1

Consideremos dos valor cercano a uno por la izquierda como 0,999 y 0,995 al sustituirlos en la función se  obtiene para el primer valor Y= 2,997  y para el segundo valor Y= 2,98, al ser redondeando sería 3 para ambos casos.

Si analizamos la función  por la derecha con dos valores cercanos a x=1, se obtendría;

para X= 1,001    Y  adquiere el valor de  3,003

para X= 1,020  Y adquiere el valor de 3,06, en ambos casos si se redondea el valor de Y seria 3.

Con los cálculos anteriores y observando la gráfica se concluye:

.- Existen los limites laterales por tanto existe el límite de la función.

.- El \lim_{x\rightarrow 1{+}}F(x)=\lim_{x\rightarrow 1{-}}F(x)= 3 , por ser el mismo valor se dice que la función es continua.

 

Cuando el limite de una función  tiende a (a) y su valor es infinito, estamos en presencia de una función discontinua, es decir, la función en ese punto presenta una discontinuidad, por  ejemplo:

\lim_{x\rightarrow 3}\frac{1}{x-3}  si resolvemos el limite obtenemos que;

\lim_{x\rightarrow 3}\frac{1}{x-3}= \frac{1}{3-3}

=\frac{1}{0}=\infty          quiere decir, que en el punto X=3 estamos en presencia de una asíntota vertical y  para definir si la discontinuidad tiende al infinito positivo y/o negativo evaluamos la función, para ello se asigna valores próximo a 3 tanto por la derecha como por la izquierda;

por la izquierda consideramos el valor 2,999 que al sustituir se obtiene

\frac{1}{x-3}=\frac{1}{2,999-3}

=-\infty

por la derecha consideramos el valor de 3,001 y al sustituir

\frac{1}{x-3}=\frac{1}{3,001-3}

=\infty

como por la izquierda da -∞ y por la derecha +∞,  gráficamente la función seria:

concluyendo que el \lim_{x\rightarrow 3}\frac{1}{x-3} por la derecha la función tiende hacia el infinito positivo y por la izquierda tiende la función al infinito negativo haciéndose próximos al valor de 3 sin adquirir nunca este valor, dado que este valor no pertenece al dominio de la función.

Otro ejemplo de limites laterales para una función discontinua seria;

\lim_{x\rightarrow 5}=\frac{1}{(X-5)^{2}} si evaluamos la función,

\lim_{x\rightarrow 5}=\frac{1}{(5-5)^{2}}=\infty

para calcular el límite lateral por la derecha consideramos x=5,001 y por la izquierda 4,999 obteniendo

\lim_{x\rightarrow 5^{+}}=\frac{1}{(X-5)^{2}}=\infty

\lim_{x\rightarrow 5^{^{-}}}=\frac{1}{(X-5)^{2}}=\infty

Concluyendo que la función tanto por la derecha como por la izquierda tiende al infinito sin tomar el valor de 5, su gráfica seria: