Los productos notables o identidades notables nos permiten realizar operaciones con expresiones algebraicas de una manera mas sencilla; debido a que podemos transformar un polinomio grande en dos polinomios mas pequeños sin alterar la expresión o polinomio original, usando cualquiera de los tipos de producto notable. En el siguiente post estudiaremos las definiciones de producto notable y conoceremos algunos de sus tipos.

Qué es un producto notable

Los productos notables o también conocidos como identidades notables, son un producto o expresiones algebraicas, que cumplen con ciertas reglas, que se conocen como reglas fijas, y donde el resultado obtenido lo podemos escribir con solo hacer una inspección, sin necesidad de verificar la multiplicación o recurrir a varios pasos.

Los productos notables, se puede decir que son el resultado de hacer una factorización, formada de polinomios que poseen varios términos.

En los polinomios, son de gran ayuda ya que con el uso de sus reglas y formulas, permiten que el proceso sea mucho mas corto y que podamos expresar un polinomio directamente sin necesidad de ir probando cada termino.

Para qué se usan los productos notables?

Los productos notables los podemos usar para realizar operaciones algebraicas de una manera mas rápida, sin necesidad de hacer una comprobación de la multiplicación realizada.

En otros casos son utilizados porque ayudan al encontrar: medidas, o en el calculo de área, superficies, e intensidades en el área de la ingeniaría.

Son usados para reducir procedimientos matemáticos; ya que con sus reglas se pueden obviar varios pasos en la resolución de problemas matemáticos.

En los polinomios son usados para reducirlos, usando las diferentes reglas de productos notables.

Tipos de productos notables

Existe varios tipos de productos notables o identidades notables, cada uno con su característica particular, sus diferente forma de resolver y con distintas reglas que cumplir, entre estos podemos mencionar los siguientes:

  1. Binomio al cuadrado.
  2. Binomio al cubo.
  3. Binomios conjugados.
  4. Binomios con un termino común.
  5. Trinomio al cuadrado
  6. Trinomio al cubo

Formulas de productos notables

Existen diversas formulas todo dependerá del tipo de factorización que se desee realizar, entre las mas importantes podemos mencionar:

Formulas de binomio al cuadrado

En este producto notable podemos encontrarnos con dos formulas:

Formula de suma de un binomio al cuadrado

(x+a)^{2}=x^{2}+2xa+a^{2}

Formula de resta de un binomio al cuadrado

(x-a)^{2}=x^{2}-2xa+a^{2}

Formulas de binomio al cubo

En este producto notable podemos encontrarnos con dos formulas:

Formula de suma de un binomio al cubo

(x+a)^{3}=x^{3}+3x^{2}a+3xa^{2}+a^{3}

Formula de resta de un binomio al cubo

(x-a)^{3}=x^{3}-3x^{2}a+3xa^{2}-a^{3}

Las Formulas de binomios conjugados

(x+a)(x-a)=x^{2}-a^{2}

(x-a)(x+a)=x^{2}-a^{2}

Formulas de binomios con un termino común

(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab

(x-a)(x-b)=x^{2}+(-a-b)x+\left [ (-a)(-b) \right ]=x^{2}+(-a-b)x+ab

(x+a)(x-b)=x^{2}+(a-b)x+\left [ (a)(-b) \right ]=x^{2}+(a-b)x-ab

(x-a)(x+b)=x^{2}+(-a+b)x+\left [ (-a)(b) \right ]=x^{2}+(-a+b)x-ab

La Formula de un trinomio al cuadrado

(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(a)(b)+2(a)(c)+2(b)(c)

(a-b+c)^{2}=a^{2}+(-b)^{2}+c^{2}+2(a)(-b)+2(a)(c)+2(-b)(c)

(a+b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+(-c)^{2}+2(a)(b)+2(a)(-c)+2(b)(-c)

(a-b-c)^{2}=a^{2}+(-b)^{2}+(-c)^{2}+2(a)(-b)+2(a)(-c)+2(-b)(-c)

(-a+b+c)^{2}=(-a)^{2}+(b)^{2}+(c)^{2}+2(-a)(b)+2(-a)(c)+2(b)(c)

Con las dadas se pueden formar otras cambiándole los signos a los términos; pero el procedimiento es el mismo.

Formula de trinomio al cubo

(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3b^{2}c+3ac^{2}+3bc^{2}+6abc

Al igual que la anterior, podemos formar varias formulas, con solo cambiar los signos de los términos, pero el procedimiento es el mismo; los negativos colocarlos entre paréntesis y no olvidar multiplicar los signos al momento de resolver.

Ejercicios de productos notables, 12 ejemplos resueltos

1.-    (x+8)^{2}=x^{2}+2(x)(8)+8^{2}=x^{2}+16x+64 por suma de un binomio al cuadrado.

2.-    (2x-5)^{2}=\left (2x \right )^{2}-2(2x)(5)+5^{2}=4x^{2}-20x+25    por resta de un binomio al cuadrado.

3.-    (5x+3)^{3}=(5x)^{3}+3(5x)^{2}(3)+3(5x)(3)^{2}+3^{3}=125x^{3}+225x^{2}+135x+27    por suma de un

binomio al cubo.

4.-    (2x-6)^{3}=(2x)^{3}-3(2x)^{2}(6)+3(2x)(6)^{2}-6^{3}=8x^{3}-72x^{2}+216x-216  por resta de un

binomio al cubo.

5.-    (x+8)(x-8)=x^{2}-8^{2}=x^{2}-64   por binomios conjugados.

6.-    (3x-2)(3x+2)=\left (3x \right )^{2}-2^{2}=9x^{2}-4    por binomios conjugados.

7.-  (8x+3x)(8x-3x)=(8x)^{2}-(3x)^{2}=64x^{2}-9x^{2}    por binomios conjugados.

8.- (x+10)(x+3)=x^{2}+3x+10x+30=x^{2}+13x+30  por binomio con un término común.

9.-  (x-7)(x-5)=x^{2}-5x-7x+35=x^{2}-12x+35   por binomio con un término común.

10.- (x+6)(x-8)=x^{2}-8x+6x-48=x^{2}-2x-48  por binomio con un término común.

11.-    \left (x^{2}-x+1 \right )^{2}=\left (x^{2} \right )^{2}+(-x)^{2}+1^{2}+2(x^{2})(-x)+2(x^{2})(1)+2(-x)(1)=

x^{4}+x^{2}+1-2x^{3}+2x^{2}-2x= x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-2x+1       por trinomio al cuadrado.

12.-     (3x^{2}+x+2)^{3}= (3x^{2})^{3}+(x)^{3}+2^{3}+3(3x^{2})^{2}(x)+3(3x^{2})^{2}(2)+3(3x^{2})(x^{2})

\small +3(x^{2})(2)+3(3x^{2})(2^{2})+3(x)(2^{2})+6(3x^{2})(x)(2)

=27x^{6}+x^{3}+8+27x^{5}+54x^{4}+9x^{4}+6x^{2}+36x^{2}+12x+36x^{3}

=27x^{6}+27x^{5}+63x^{4}+37x^{3}+42x^{2}+12x+8     por trinomio al cubo.

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