El binomio al cubo o también llamado cubo de un binomio; es uno de los tipos de productos notable. A continuación en el post presentado, haremos un estudio básico de las diferentes definiciones  acerca de éste tipo de producto notable, sus diferentes características, y cuales serán los pasos que se deben seguir al momento de resolver una operación donde se deba aplicar el cubo de un binomio.

Cubo de un binomio

El cubo de un binomio o binomio al cubo, es una expresión algebraica, formada por dos términos que se pueden sumar o restar; y en la cual las operaciones de (suma o resta) estarán elevadas al cubo.

El uso de cualquier producto notable del cubo de un binomio, puede llevarnos al éxito en la resolución de problemas donde se involucren otros temas, como lo son las ecuaciones y la factorización.

Cómo resolver un binomio al cubo

Para resolver cualquier binomio al cubo o cubo de un binomio tenemos que; primero observar si la operación a realizar es de suma o es de resta, luego de ubicar que tipo de operación se debe realizar, seleccionamos la formula indicada para esa operación, y procedemos a resolverla cumpliendo con las reglas que plantea la formula.

Reglas y formulas del binomio al cubo

Para elevar un binomio al cubo, nos encontramos con dos opciones o dos formas; y cada opción tiene sus reglas particulares y su formula:

  1. Suma del cubo de un binomio.
  2. Resta del cubo de un binomio.

Suma de un binomio al cubo

El cubo de la suma de un binomio, es igual al cubo del primer término, mas el triple del producto del primer término al cuadrado por el segundo término, mas el triple del primer término por el cuadrado del segundo término, mas el cubo del segundo término.

Formula de la suma de un binomio al cubo

La formula utilizada en el cubo de la suma de un binomio es:

(x+a)^{3}=x^{3}+3x^{2}a+3xa^{2}+a^{3}

Resta de un binomio al cubo

El cubo de la diferencia de un binomio, es igual al cubo del primer término, menos el triple del producto del primer término al cuadrado por el segundo término, mas el triple del primer término por el cuadrado del segundo término, menos el cubo del segundo término.

Formula de la resta de un binomio al cubo

La formula utilizada en la resta de un binomio al cubo es:

(x-a)^{3}=x^{3}-3x^{2}a+3xa^{2}-a^{3}

Ejercicios de binomio al cubo, 10 ejemplos resueltos

1.-    (x+5)^{3}= x^{3}+3(x)^{2}(5)+3(x)(5)^{2}+5^{3}=x^{3}+15x^{2}+75x+125 se llevo a cabo la suma del binomio al cubo y se resolvieron las multiplicaciones y potencias pendientes.

2.-  \left (x^{2}+1 \right )^{3}=\left (x^{2} \right )^{3}+3(x^{2})^{2}(1)+3(x^{2})(1)^{2}+(1)^{3}=x^{6}+3x^{4}+3x^{2}+1    se llevo a cabo la suma del binomio al cubo y se resolvieron las multiplicaciones y potencias pendientes.

3.-    \left ( \frac{1}{2}z^{2} +z^{3}\right )^{3}=\left (\frac{1}{2}z^{2} \right )^{3}+3\left (\frac{1}{2}z^{2} \right )^{2}\left ( z^{3} \right )+3\left (\frac{1}{2}z^{2} \right )\left ( z^{3} \right )^{2}+\left ( z^{3} \right )^{3}=

\frac{1}{8}z^{6}+\frac{3}{4}z^{7}+\frac{3}{2}z^{8}+z^{9}Se llevo a cabo la suma del binomio al cubo, se resolvieron las multiplicaciones de fracciones y las potencias pendientes.

4.-    \left ( x-4 \right )^{3}=x^{3}-3(x)^{2}(4)+3(x)(4)^{2}-(4)^{3}=x^{3}-12x^{2}+48x-64      se llevo a cabo la resta del binomio al cubo  y se resolvieron las multiplicaciones y las potencias pendientes.

5.-    \small (3m-8)^{3}=(3m)^{3}-3(3m)^{2}(8)+3(3m)(8)^{2}-(8)^{3}=27m^{3}-216m^{2}+576m-512    se llevo a cabo la resta del binomio al cubo  y se resolvieron las multiplicaciones y las potencias pendientes.

6.-    \left ( \frac{1}{5}z -10z^{3}\right )^{3}=\left (\frac{1}{5}z \right )^{3}-3\left (\frac{1}{5}z \right )^{2}\left ( 10z^{3} \right )+3\left (\frac{1}{5}z \right )\left ( 10z^{3} \right )^{2}-\left ( 10z^{3} \right )^{3}=

\frac{1}{125}z^{3}-\frac{6}{5}z^{5}+60z^{7}-1000z^{9}Se llevo a cabo la resta del binomio al cubo y se resolvieron las multiplicaciones de fracciones  y  las potencias pendientes.

7.- (2x^{7m}-x^{m})^{3}=\left (2x^{7m} \right )^{3}-3\left ( 2x^{7m} \right )^{2}\left ( x^{m} \right )+3\left ( 2x^{7m} \right )\left ( x^{m} \right )^{2}-\left (x^{m} \right )^{3}=

8x^{21m}-12x^{15m}+6x^{9m}-x^{3m}Se llevo a cabo la resta del binomio al cubo  y se resolvieron las multiplicaciones y potencias pendientes.

8.-    \dpi{100} \small \left (\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{5}x^{3} \right )^{3}=\left ( \frac{1}{2}x^{2} \right )^{3}+3\left (\frac{1}{2}x ^{2} \right )^{2}\left ( \frac{3}{5}x^{3} \right )+3\left (\frac{1}{2}x ^{2} \right )\left ( \frac{3}{5}x^{3} \right )^{2}+\left ( \frac{3}{5} x^{3}\right )^{3}=

\frac{1}{8}x^{6}+\frac{9}{20}x^{7}+\frac{27}{50}x^{8}+\frac{27}{125}x^{9}Se llevo a cabo la suma del binomio al cubo  y se resolvieron las multiplicaciones de fracciones y las potencias pendientes.

9.-    \left ( \frac{1}{7}x -9\right )^{3}=\left (\frac{1}{7} x\right )^{3}-3\left ( \frac{1}{7}x \right )^{2}\left ( 9 \right )+3\left ( \frac{1}{7}x \right )\left ( 9 \right )^{2}-9^{3}=

\frac{1}{343}x^{3}-\frac{27}{49}x^{2}+\frac{243}{7}x-729Se llevo a cabo la resta del binomio al cubo  y se resolvieron las multiplicaciones de fracciones y las potencias pendientes.

10.-  \left ( 5a^{3}+\frac{1}{2}a\right )^{3}=(5a^{3})^{3}+3(5a^{3})^{2}\left ( \frac{1}{2} a\right )+3(5a^{3})\left ( \frac{1}{2} a\right )^{2}+\left ( \frac{1}{2} a\right )^{3}=

125a^{9}+\frac{75}{2}a^{7}+\frac{15}{4}a^{5}+\frac{1}{8}a^{3} Se llevo a cabo la suma del binomio al cubo  y se resolvieron las multiplicaciones de números enteros y multiplicaciones de fracciones y las potencias pendientes.

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