Desde que iniciamos el estudio de la derivada, nos conseguimos con varios contenidos, su definición, resolución de derivadas polinomicas, trigonométricas e incluso ya hemos realizado algunas aplicaciones de las derivadas cuando calculamos los máximo y mínimo, demostramos si la función es creciente y decreciente, determinar los punto critico, la convexidad y concavidad, definir el punto de inflexión. Todos estos contenidos son aplicaciones de la derivada, las cuales se extiende a su utilidad en el cálculo de situaciones o problemas de la vida diaria.

Aplicación de la derivada.

La derivada nos permite resolver algunos problemas de la vida cotidiana como calculo de área y volumen, en esta oportunidad realizaremos algunos ejercicios donde presentaremos otras aplicaciones útiles de la derivada.

.- Calcular el área de un terreno rectangular, el cual fue delimitado con alambre utilizando para ello 400 m de este.

Se conoce que el terreno es rectangular y que fue delimitado, es decir, que los 400 m corresponde a su perímetro

A\square = L.A

Donde L es largo y A ancho del rectángulo

Perímetro (P) = 2L+2A

2A + 2L = 400

Para el calculo del área cambiaremos las variables A y L por X y Y

A\square = X.Y

2X+ 2Y= 400   despejamos la variable Y

Y= (400-2X)/2    sustituimos en la formula de área

A\square = (\frac{400-2x}{2}).x

A\square = \frac{400x-2x^{2}}{2}

A\square = \frac{400x}{2}-\frac{2x^{2}}{2}

A\square = 200x-x^{2}

A\square = A(x)  derivamos

{A(x)}'= 200x-x^{2}

{A(x)}'= 200-2x

para obtener el valor de x igualamos a cero

200-2x=0  despejamos x

-2x=-200

x=\frac{-200}{-2}

x= 100

se sustituye x en Y= (400-2X)/2

Y=\frac{400 -2(100)}{2}

Y=\frac{400 -200}{2}

Y=\frac{200}{2}

Y=100

entonces;

A\square = 100m.100m.

A\square = 200m^{2}

.- Se desea conocer las dimensiones de una caja cuadrada sin la tapa, sabiendo que tiene un volumen de 500cm^{3} .

El volumen de una caja es:

V=A.h      ó       V=L^{2}.h

donde A es el área, L longitud de un lado de la caja y h la altura de la caja, pero ya conocemos el volumen, entonce;

500cm^{3}=L^{2}.h despejamos la h

h=\frac{500 cm^{3}}{L^{2}}

Necesitamos el área de la caja, la cual es el área de la base mas el área de sus lados o caras de la caja;

A_{caja}=A_{base}+A_{lado}

donde

A_{base}= L^{2}

A_{lado}=4L.h  se dice que L es lado y multiplicamos por los 4 lados de la caja, por tanto

A_{caja}=L^{2}+ 4Lh       sustituimos h=\frac{500 cm^{3}}{L^{2}}

A_{caja}=L^{2}+ 4L\frac{500 Cm^{3}}{L^{2}}  simplificamos

A_{caja}=L^{2}+ \frac{2000 Cm^{3}}{L}

derivamos, pero nos olvidamos por un momento de las unidades métricas para facilitar el entendimiento del ejercicio

{A_{caja}}'=L^{2}+ \frac{2000}{L}

{A_{caja}}'=L^{2}+ \frac{2000}{L} 

una forma de facilitar la derivación es pasar la L del denominador al numerado con el exponente negativo y resolver como un producto, veamos

{A_{caja}}'=L^{2}+ 2000L^{-1}

{A_{caja}}'=2L - 2000L^{-2}

{A_{caja}}'=2L - \frac{2000}{L^{2}}

Para conseguir el valor de L igualamos a cero

2L - \frac{2000}{L^{2}}=0

2L = \frac{2000}{L^{2}}

2L^{3} = 2000

L^{3} = \frac{2000}{2}

L = \sqrt[3]{1000}

L = \sqrt[3]{1000}

L = 10cm

Ya conocemos la longitud de un lado de la caja, los cuales son iguales para todo por que en el enunciado dice que es cuadrada, falta calcular la altura, para ello;

h=\frac{500 cm^{3}}{L^{2}}

h=\frac{500 cm^{3}}{(10cm)^{2}}

h=\frac{500 cm^{3}}{100cm^{2}}

h=5 cm

Concluyendo la caja tiene una altura de 5 cm y sus lados miden 100 cm.