Resolver un límite es fácil,  consiste en sustituir el valor que tiende a X en la función y se  procede a ejecutar las operaciones básicas, que por lo general dan como resultados números reales, pero en ocasiones se presentan situaciones donde se obtienen los denominados indeterminaciones como son:

  •  Infinito entre infinito  \frac{\infty }{\infty }\.
  • Cero entre cero  \frac{0}{0}
  • Infinito menos infinito    \infty -\infty
  • Cero por infinito      0.\infty
  • Cero elevado a cero     0^{0}
  • Infinito elevado a cero      \infty ^{0}
  • Uno elevado a infinito     1^{\infty }

Como eliminar las indeterminaciones.

Cuando se presentan alguna indeterminación, no quiere decir que el limite no tenga solución, por el contrario, se debe aplicar procedimientos adicionales como factorización, conjugada, entre otros para eliminar la indeterminación.

Por ejemplo, para un límite de la forma \frac{0}{0}  , se resuelve utilizando los métodos de factorización en el numerador y/o denominador, a fin de establecer cual es el factor que origina el valor de cero.

Si la indeterminación es del tipo \frac{\infty }{\infty }\ , se divide el numerador y el denominador por la variable que tenga mayor potencia, presentándose tres situaciones:

1.- Si la mayor potencia de la variable aparece en el numerador, el resultado del límite es ∞.

2.- Si la mayor potencia de la variable aparece en el denominador, el resultado del límite es cero.

3.- Si la mayor potencia de la variable aparece en el numerador al igual que en el denominador, el resultado del límite será la división de los coeficientes de dichas variables.

En la indeterminación  (∞ -∞),  se resuelve multiplicando y dividiendo por la conjugada o realizando operaciones algebraicas, es importante acotar,  una vez ejecutadas las operaciones el límite por lo general queda con otra indeterminación del tipo \frac{\infty }{\infty }\, teniendo que utilizar  el procedimiento para este caso.

Si queremos eliminar la  indeterminación 1^{\infty }, se hace uso de la siguiente expresión:

\lim_{x\rightarrow \infty }(F(x))^{G(x)}=\varrho ^{\lim_{x\rightarrow \infty }}(G(x)(F(x)-1))

Por ultimo tenemos la indeterminación \infty ^{0} , se resuelve aplicando lo siguiente:

\lim_{x\rightarrow a}(F(x))^{G(x)}=\varrho ^Ln{\lim_{x\rightarrow a }}(F(x)^{G(x)}

Resolución de ejercicios.

Resolver los siguientes límites indeterminados;

a.- {\lim_{x\rightarrow 8} (\frac{x^{2}-64}{x-8})}

 

= \frac{(8^{2}-64)}{8-8}

=\frac{0}{0}

Como el límite es indeterminado, se procede aplicar el producto de la suma por la diferencia en el numerador, quedando;

{\lim_{x\rightarrow 8} (\frac{x^{2}-64}{x-8})}={\lim_{x\rightarrow 8} (\frac{(x+8)(x-8)}{x-8})}  se eliminan los términos comunes de la función (X-8), de esta forma se elimina también la indeterminación;

={\lim_{x\rightarrow 8}(X+8)  seguidamente se evalúa;

=(8+8)

=16

b.- {\lim_{x\rightarrow 1} (\frac{x^{3}-x^{2}}{2x-2})}

{\lim_{x\rightarrow 1} (\frac{x^{3}-x^{2}}{2x-2})}= \frac{(1)^{3}-(1)^{2}}{2(1)-2}

{\lim_{x\rightarrow 1} (\frac{x^{3}-x^{2}}{2x-2})}= \frac{0}{0}  se procede a factorizar por método de factor común, tanto en el numerador como denominador, para eliminar la indeterminación;

= {\lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^{2}(x-1)}{2(x-1)}

= {\lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^{2}}{2}

= \frac{(1)^{2}}{2}

= \frac{1}{2}

 

c.-{\lim_{x\rightarrow\infty }(\frac{x^{3}-x^{2}}{x-2})}

{\lim_{x\rightarrow\infty }(\frac{x^{3}-x^{2}}{x-2})}=\frac{\infty }{\infty }    Se divide por la variable de mayor potencia, tanto el numerador como el denominador, para el caso es x^{3};

={\lim_{x\rightarrow\infty }(\frac{\frac{x^{3}}{x^{3}}-\frac{x^{2}}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}}-\frac{2}{x^{3}}})

={\lim_{x\rightarrow\infty }(\frac{1-\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}}) se evalúa el limite, recordemos que todo numero dividido entre el infinito da como resultado cero.

=(\frac{1-\frac{1}{\infty }}{\frac{1}{\infty ^{2}}-\frac{2}{\infty ^{3}}})

=(\frac{1-\frac{1}{\infty }}{\frac{1}{\infty ^{2}}-\frac{2}{\infty ^{3}}})

= \frac{1}{0}

= \infty

 

d.- {\lim_{x\rightarrow\infty }(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})

{\lim_{x\rightarrow\infty }(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})= \infty -\infty   se multiplica y se divide por la conjugada;

={\lim_{x\rightarrow\infty } (\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}})

={\lim_{x\rightarrow\infty } (\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}) al resolver el producto de una suma por su diferencia queda;

={\lim_{x\rightarrow\infty } (\frac{({x+1}-{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}})

={\lim_{x\rightarrow\infty } (\frac{{1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}})

=\frac{1 }{\infty }

= 0

 

e.- {\lim_{x\rightarrow 1}((x^{2}-1)(\frac{1}{x-1}))

{\lim_{x\rightarrow 1}((x^{2}-1)(\frac{1}{x-1}))= 0.\infty para eliminar la indeterminación, se aplica el producto de la suma por la diferencia

= {\lim_{x\rightarrow 1}(((x-1)(x+1))(\frac{1}{x-1}))   se elimina los términos comunes (x-1) y se evalúa nuevamente;

= {\lim_{x\rightarrow 1}(x+1)

= 2

f.- \lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{x})^{\frac{ax+b}{a}}

=1^{\infty }

=\varrho^{\lim_{x\rightarrow \infty }}((\frac{ax+b}{a})(1+\frac{1}{x}-1))

=\varrho^{\lim_{x\rightarrow \infty }}((\frac{ax+b}{a})(\frac{1}{x}))

=\varrho^{\lim_{x\rightarrow \infty }}(\frac{ax+b}{ax})

=\varrho^{\lim_{x\rightarrow \infty }}(\frac{ax}{ax}+\frac{b}{ax})

=\varrho^{\lim_{x\rightarrow \infty }}(1+\frac{b}{ax}) se evalúa el limite

=\varrho^{1}