Limite al Infinito

Dentro de los tipos de limites se encuentran los limites al infinito, entendiéndose como el límite de una F(x) que tiende al infinito, es decir, sustituir la variable (X) por el símbolo de infinito ya sea positivo o negativo. Cuando X asume valores cada vez mas grande la función crece también, de esta forma cuando la función tiende al infinito, el limite también tiende al infinito.

Cuando evaluamos una función que tiende al infinito se puede obtener según el caso tres resultados: +∞, -∞ o un numero real (L).

Propiedades de los límites al infinito.

1.- Limite de una constante.

$\lim_{x\rightarrow \infty }k=k$

Ejemplo:

$\lim_{x\rightarrow \infty }6=6$

2.- Limite de una potencia.

$\lim_{x\rightarrow -\infty }X^{n}=+\infty$ si y solo si, n es par.

Ejemplo:

$\lim_{x\rightarrow -\infty }X^{2}=+\infty$

.- $\lim_{x\rightarrow -\infty }X^{n}=-\infty$ si y solo si, n es impar.

Ejemplo:

$\lim_{x\rightarrow -\infty }X^{3}=-\infty$

.- $\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{k}{x}=0$ se dice que es cero, dado que se divide por un numero no determinado muy grande al valor de k.

Ejemplo:

$\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{2}{x}=\frac{2}{\infty }$

$\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{2}{x}=0$

3.- Límite de una raíz enésima.

$\lim_{x\rightarrow -\infty }\sqrt[n]{X}=-\infty$ Si y solo si n es impar.

Ejemplo:

$\lim_{x\rightarrow -\infty }\sqrt[3]{X}=\sqrt[3]{-\infty }$

$\lim_{x\rightarrow -\infty }\sqrt[3]{X}=-\infty$

Ejercicios de Límites al Infinito.

Antes de resolver algunos ejercicios es necesario detenernos en los siguiente:

.- Si sumamos o restamos ∞ a cualquier numero real el resultado será ∞.

.- Si elevamos un numero real al infinito el resultado será ∞.

.- Si multiplicamos un numero real por el ∞ el resultado será ∞. Es de resaltar que si multiplicamos un valor negativo por ∞ el resultado sera -∞.

Esto se debe a que el ∞ es un valor muy grande no determinado, pero al sumar, restar o multiplicar por un numero real el resultado se convierte en un valor infinito mucho más grande.

.- El logaritmo de ∞ es ∞, pero si la función logarítmica tiene el signo negativo delante, el resultado es -∞.

.- También hay que considerar que al dividir un numero real entre el ∞, el resultado es cero, dado que el infinito siempre será un numero mayor no determinado que el valor que se encuentra en el numerador.

Resolver los siguientes ejercicios:

1.- $\lim_{x\rightarrow \infty }X^{2}+{1}$

$=(\infty)^{2}+1$

$\lim_{x\rightarrow \infty }X^{2}+{1}=\infty$

En conclusión, en la medida que X asume valores mas hacia el infinito, la función adquiere valores con respecto a Y hacia el infinito positivo.

De esa forma se resuelve el límite, pero vamos a detenernos para evaluar la lateralidad de la función como ampliación de conocimiento, anteriormente calculamos el valor a la derecha de la función, ahora calcularemos a la izquierda;

$\lim_{x\rightarrow -\infty }X^{2}+{1}$

$=(-\infty)^{2}+1$

$\lim_{x\rightarrow -\infty }X^{2}+{1}=\infty$

Concluyendo que $\lim_{x\rightarrow +\infty }X^{2}+{1}=\lim_{x\rightarrow -\infty }X^{2}+{1}=\infty$ , en la medida que X asume valores a la derecha o izquierda, la función adquiere valores cada vez mas grande hacia el infinito positivo, su gráfica quedaría: