Una vez definido límite de una función, es conveniente estudiar las diferentes propiedades de los mismos, esto permitirá facilitar la resolución de límites mas complejos, simplificando los cálculos.

Propiedades de los límites.

1.- Unicidad de límite.

El límite de una función si existe es único, es decir, un límite no puede tener dos valores.

2.- Limite de una variable.

{\lim_{x\rightarrow a}} x= a   Simplemente es sustituir el valor que tiende X en la función y realizar las operaciones básicas según sea el caso. Ejemplo:

{\lim_{x\rightarrow 1}} X+2

= 1+2

{\lim_{x\rightarrow 1}} X+2= 3    También queda demostrado la propiedad anterior donde el límite da como resultado un único valor.

3.- El límite de una constante.

El límite de una constante, el resultado es la misma constante, ejemplo:

{\lim_{x\rightarrow a}} 5= 5

4.-  Límite de una suma o resta.

El límite de una suma o resta, es equivalente a la suma o resta de los límites.

{\lim_{x\rightarrow a}}(F(x)\frac{+}{}G(x)) ={\lim_{x\rightarrow a}} F(x) \frac{+}{}{\lim_{x\rightarrow a}} G(x)

Ejemplo:

{\lim_{x\rightarrow 2} (x+3)}

{\lim_{x\rightarrow 2} (x+3)}={\lim_{x\rightarrow 2} x +{\lim_{x\rightarrow 2}3

se procede a sustituir la variable por el valor de 2, resolviendo las operaciones básicas;

{\lim_{x\rightarrow 2} (x+3)}= 2+ 3

{\lim_{x\rightarrow 2} (x+3)} = 5

El límite de la F(x) cuando X tiende a 2 es 5.

5.- Límite de una potencia.

El límite de una potencia, es el límite de la base elevado al exponente, es decir,

{\lim_{x\rightarrow a}} (x^{n})=({\lim_{x\rightarrow a}} x)^{n}

{\lim_{x\rightarrow a}} (x^{n})=(a)^{n}

Ejemplo:

{\lim_{x\rightarrow 2} x^{3}}= (2)^{3}=8

6.-Límite por un escalar k.

Un escalar es una constante, en este caso se resuelve el límite extrayendo la constante, tomando en consideración la propiedad 3.

{\lim_{x\rightarrow a}} (k.x)= k .{\lim_{x\rightarrow a}} x

Ejemplo:

{\lim_{x\rightarrow 2} 5x}= 5.({\lim_{x\rightarrow 2}x)

{\lim_{x\rightarrow 2} 5x}= 5.(2)=10

7.- Límite de un producto.

{\lim_{x\rightarrow a}}(F(x). G(x)) ={\lim_{x\rightarrow a}} F(x) . {\lim_{x\rightarrow a}} G(x)

Ejemplo:

{\lim_{x\rightarrow 1} (x^{2}. x)}={\lim_{x\rightarrow 1}x^{2}.{\lim_{x\rightarrow 1} x

{\lim_{x\rightarrow 1} (x^{2}. x)}=(1)^{2}. (1)= 1

8.- Límite de un cociente.

{\lim_{x\rightarrow a}} \frac{(F(x))}{(G(x)}= \frac{{\lim_{x\rightarrow a}}(F(x))}{{\lim_{x\rightarrow a}}(G(x))}    si el límite de G(x)\not\equiv 0

Ejemplo:

{\lim_{x\rightarrow 1}} \frac{(x)}{((x^{2})}= \frac{{\lim_{x\rightarrow 1}}((x))}{{\lim_{x\rightarrow 1}}(x^{2})}

{\lim_{x\rightarrow 1}} \frac{(x)}{((x^{2})}= \frac{(1)}{{(1^{2})}

{\lim_{x\rightarrow 1}} \frac{(x)}{((x^{2})}= 1

9.- Límite de la raíz enésima de una función.

{\lim_{x\rightarrow a}} \sqrt[n]{F(x)}=\sqrt[n]{{\lim_{x\rightarrow a}}F(x)}

Ejemplo:

{\lim_{x\rightarrow 4}} \sqrt[2]{x}=\sqrt[2]{{\lim_{x\rightarrow 4}}(x)}

{\lim_{x\rightarrow 4}} \sqrt[2]{x}=\sqrt[2]{(4)}

{\lim_{x\rightarrow 4}} \sqrt[2]{x}= 2

10.- Límite del logaritmo de una función.

{\lim_{x\rightarrow a}} (\log_{b}F(x) )=log_{b}({\lim_{x\rightarrow a}} F(x))= log_{b} L

Ejemplo:

{\lim_{x\rightarrow 5}} (\log_{}(x) )=log_{} ({\lim_{x\rightarrow 5}} (x))

{\lim_{x\rightarrow 5}} (\log_{}(x) )=log_{} (5)= 0,698

11.- Límite de una función elevada a otra función.

{\lim_{x\rightarrow a}}(F(x)^{G(x)})= ({\lim_{x\rightarrow a}}(F(x))^{({\lim_{x\rightarrow a}G(x)})}

Ejemplo:

{\lim_{x\rightarrow 1}}((x)^{(x)})= ({\lim_{x\rightarrow 1}}((x))^{{\lim_{x\rightarrow 1}(x)}

{\lim_{x\rightarrow 1}}((x)^{(x)})=(1)^{(1)}

{\lim_{x\rightarrow 1}}((x)^{(x)})= 1

Resolución de ejercicios aplicando las propiedades de los límites.

1.-{\lim_{x\rightarrow 1}} \frac{(x)-3}{(x^{3})}

=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x}{x^{3}}-\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3}{x^{3}}

=\frac{\lim_{x\rightarrow 1}x}{\lim_{x\rightarrow 1}x^{3}}-\frac{\lim_{x\rightarrow 1} 3}{\lim_{x\rightarrow 1}x^{3}}

=\frac{1}{(1)^{3}}-\frac{3}{(1)^{3}}

=1-3

{\lim_{x\rightarrow 1}} \frac{(x)-3}{(x^{3})}=-2

 

2.-{\lim_{x\rightarrow 5}} (\sqrt[2]{5x}+ 2x- 3^{x})

={\lim_{x\rightarrow 5}} \sqrt[2]{5x}+ {\lim_{x\rightarrow 5}}2x- {\lim_{x\rightarrow 5}}3^{x}

= \sqrt[2]{5{\lim_{x\rightarrow 5}}x}+ 2{\lim_{x\rightarrow 5}}x- 3^{{\lim_{x\rightarrow 5}}x}

=\sqrt[2]{5(5)}+ 2.(5)- 3^{5}

=\sqrt[2]{25}+ 10- 243

{\lim_{x\rightarrow 5}} (\sqrt[2]{5x}+ 2x- 3^{x})= - 228