Los polinomios, son expresiones matemáticas, que tienen diferentes formas, y así mismo, con ellos podemos hacer distintas operaciones aritméticas; una de estas operaciones es la multiplicación de polinomios;  que a su vez abarca la multiplicación de monomios, binomios, trinomios o cualquier tipo de polinomio. A  continuación en el siguiente post, estudiaremos las diferentes definiciones acerca de la multiplicación de polinomios y las diversas formas de realizar dicha operación aritmética.

Qué es la multiplicación de polinomios

La multiplicación de polinomios, se refiere a la suma que se obtiene de multiplicar los coeficientes de los monomios del primer polinomio por los coeficientes de los monomios del segundo polinomio.

En toda multiplicación debemos recordar, que ademas de multiplicar los coeficientes, también se deben multiplicar los signos.

Ahora bien, para estudiar la multiplicación de polinomios, es necesario, aprender antes el procedimiento a seguir para efectuar multiplicaciones de monomiosya que los polinomios, binomios, trinomios o cualquier tipo de polinomios, están compuestos por varios monomios; y realizar una multiplicación de polinomios, es lo mismo que multiplicar varios monomios.

Multiplicación algebraica de monomios

Para multiplicar monomios, se deben multiplicar los coeficientes de los términos y los exponentes (grado) que tienen la misma base (variable) se suman.

Ejemplo de multiplicación de monomios, ejercicios resueltos

1.-  Dados los monomios    P(x)=3x^{8}      y      Q(x)= -2x^{3}     entonces

P(x)*Q(x)= 3x^{8}*\left ( -2x^{3} \right )=  -6x^{11}  como pueden observar se multiplicaron los coeficientes de los términos, los signos de cada término y se sumaron los exponentes ( grado de los términos) porque tenían la misma variable.

2.-  Dados los monomios      Q(x)=-\frac{4}{5}z^{10}       y       M(x)=-\frac{5}{3}z^{5}     entonces

Q(x)*M(x)= \left (-\frac{4}{5}z^{10} \right )*\left ( -\frac{5}{3}z^{5} \right ) =  \frac{20}{15}z^{15}=\frac{4}{3}z^{15}     se multiplicaron los coeficientes de los términos a través de la multiplicación de fracciones, se multiplicaron los signos de cada término y se sumaron los exponentes ( grado de los términos) porque tenían la misma variable.

3.-   Dados los monomios  Q(x)=3xy^{2}       y       Z(x)=5x^{2}y         entonces

Q(x)*Z(x)= 3xy^{2}*5x^{2}y= \fn_cm 15x^{3}y^{3}   se observa que se multiplicaron los coeficientes de los términos, los signos de cada término y se sumaron los exponentes ( grado de los términos) que tenían la misma base (variable).

4.-    Dados los monomios  N(x)=5y    y    Z(x)=4x^{2}  entonces Q(x)*Z(x)=\fn_cm 20yx^{2}  no se sumaron los exponentes porque las variables son distintas.

Para multiplicar monomios con polinomios, binomios con polinomios, trinomios con polinomios, o hacer las diferentes combinaciones entre ellos, el procedimiento a seguir es el mismo de la multiplicación de polinomios. Esto lo entenderás de mejor manera y lo pondrás en práctica con las definición que se explican a continuación:

Cómo multiplicar polinomios

Hacer una multiplicación de dos o mas polinomios, es multiplicar los coeficientes de sus términos y luego sumar los resultados de las multiplicaciones. Cabe destacar que al hacer la multiplicación de los coeficientes, los exponentes (grado de los términos) que tienen la misma base (variable) se suman. El resultado que se obtiene de multiplicar dos o mas polinomios es un solo polinomio.

Para hacer multiplicación de binomios, trinomios, cuatrinomios o cualquier tipo de polinomio el procedimiento es el mismo; solo debemos seleccionar el método de preferencia y procedemos a multiplicar.

Existen dos métodos de resolver multiplicaciones de polinomios:

  1. De forma horizontal.
  2. De forma vertical.

Multiplicación de polinomios de forma horizontal

Para hacer multiplicaciones de polinomios usando este método debemos seguir los siguientes pasos:

  1. Ordenamos los polinomios.
  2. Multiplicamos los coeficientes de los términos del primer polinomio, con los del segundo polinomio; uno por uno al igual que los signos de los coeficientes. (Cabe destacar que se va multiplicando cada termino de un polinomio por todos los del otro polinomio).
  3. Se suman los exponentes (grados) de los términos del polinomio que se van multiplicando (los que tienen la misma variable y los que no tienen la misma se le colocan las variables existentes en los dos términos).
  4. Si son polinomios, binomios, trinomios, se suman los resultados obtenidos de las multiplicaciones usando la suma de polinomios.

Ejemplos de multiplicación de polinomios, binomios y trinomios de forma horizontal, ejercicios resueltos

A continuación se presentan ejercicios de multiplicación entre polinomios;  haciendo combinaciones diferentes como: monomio por polinomio, binomio por trinomio, binomio por monomio, trinomio por binomio y muchas otras combinaciones entre los diversos tipos.

1.-   Dados los polinomios  P(x)= 6x^{3}+4x-8    y   Q(x)= x-3x^{2}+2x^{3}  encontrar:  P(x)*Q(x)

Solución:   

Ordenamos los polinomios    P(x)= 6x^{3}+4x-8        Q(x)= 2x^{3}-3x^{2}+x

Multiplicamos los coeficientes  y vamos sumando los exponentes

P(x)*Q(x)=\left (6x^{3}+4x-8 \right )*\left ( 2x^{3}-3x^{2}+x \right )=

12x^{6}-18x^{5}+6x^{4}+8x^{4}-12x^{3}+4x^{2}-16x^{3}+24x^{2}-8x=

Realizamos la suma de polinomios horizontalmente

12x^{6}-18x^{5}+6x^{4}+8x^{4}-12x^{3}-16x^{3}+4x^{2}+24x^{2}-8x=

12x^{6}-18x^{5}+14x^{4}-28x^{3}+28x^{2}-8x

2.-    Dados los polinomios P(x)=3x^{4}+2x^{2}+5x+8     y  R(x)=6x^{3}+8x+3   encontrar:P(x)*R(x)

Solución:

Como los polinomios están ordenados procedemos a multiplicar coeficientes y sumar exponentes

P(x)*R(x)=\left ( 3x^{4}+2x^{2}+5x+8 \right )*\left ( 6x^{3}+8x+3\right )=

18x^{7}+24x^{5}+9x^{4}+12x^{5}+16x^{3}+6x^{2}+30x^{4}+40x^{2}+15x+48x^{3}+64x+24=

Realizamos la suma de polinomios horizontalmente

18x^{7}+24x^{5}+12x^{5}+9x^{4}+30x^{4}+16x^{3}+48x^{3}+6x^{2}+40x^{2}+15x+64x+24=

18x^{7}+36x^{5}+39x^{4}+64x^{3}+46x^{2}+79x+24

3.-    Dados los polinomios S(x)=2x^{2}-5x+2     y     R(x)=8x+3     encontrar: S(x)*R(x)

Solución:

Como los polinomios están ordenados procedemos a multiplicar coeficientes y sumar exponentes

S(x)*R(x)=\left (2x^{2}-5x+2 \right )*\left ( 8x+3 \right )=

16x^{3}+6x^{2}-40x^{2}-15x+16x+6=

Realizamos la suma de polinomios

16x^{3}-34x^{2}+x+6

Cómo se multiplican los polinomios de forma vertical

Para hacer multiplicaciones de polinomios, usando este método, el procedimiento a seguir es el mismo que se utiliza cuando se hace de manera horizontal (procedimiento explicado en el punto anterior), con la única diferencia que en este método debemos colocar un polinomio debajo del otro.

A continuación con la resolución de ejercicios, se te demostrará con mas detalle lo expuesto:

Ejemplos de multiplicación de polinomios, binomios y trinomios de forma vertical, ejercicios resueltos

A continuación se harán problemas de multiplicación de polinomios;  haciendo diferentes combinaciones como: monomio por polinomio, binomio por trinomio, binomio por monomio, trinomio por binomio, binomio por binomio y muchas otras combinaciones entre los tipos de polinomio.

1.-   Dados los siguientes polinomios M(x)= 2x^{2}-15        S(x)=-5x^{2}+x^{3}-3x     encontrar :S(x)*M(x)

Solución:

Ordenamos los polinomios  S(x)=x^{3}-5x^{2}-3x       M(x)= 2x^{2}-15

Colocamos los polinomios uno debajo del otro, realizamos las multiplicaciones de los coeficientes, sumamos los exponentes ( grado de la variable) , y  finalmente hacemos la suma de polinomios verticalmente

Multiplicación de polinomios S(x) y M(x)

2.-   Dados los siguientes polinomios P(x)= -5x^{3}-2x^{2}+3x-12        Q(x)=4x^{3}+5x-2x^{2}+3     encontrar:  P(x)* Q(x)

Solución:

Ordenamos los polinomios  P(x)= -5x^{3}-2x^{2}+3x-12      Q(x)=4x^{3}-2x^{2}+5x+3

Colocamos los polinomios uno debajo del otro, realizamos las multiplicaciones de los coeficientes, sumamos los exponentes ( grado de la variable) , y  finalmente hacemos la suma de polinomios verticalmente

Multiplicación de polinomios P(x) y Q(x)

3.-   Dados los siguientes polinomios P(x)= -5x^{3}-2x^{2}+3x-12        Z(x)=-4x^{2}     encontrar:  P(x)* Z(x)

Solución:

Ordenamos los polinomios  P(x)= 2x^{4}-5x^{3}-2x^{2}+3x-12            Z(x)=-4x^{2}

Colocamos los polinomios uno debajo del otro, realizamos las multiplicaciones de los coeficientes, sumamos los exponentes ( grado de la variable) , y  finalmente hacemos la suma de polinomios

multiplicación de polinomios P(x) y Z(x)

4.-   Dados los siguientes polinomios P(x)=5x^{2}-4x    y     Y(x)=+3+7x^{2}     encontrar  P(x)* Y(x)

Solución:

Ordenamos los polinomios  P(x)=5x^{2}-4x            Y(x)=7x^{2}+3

Colocamos los polinomios uno debajo del otro, realizamos las multiplicaciones de los coeficientes, sumamos los exponentes ( grado de la variable) , y  finalmente hacemos la suma de polinomios

multiplicación de polinomios P(x) y Y(x)

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