La derivadas se aplica a todo tipo de funciones como polinomicas, trigonométricas, logarítmicas, funciones compuestas e incluso las denominadas funciones implícitas. A continuación estudiaremos la derivada de una función implícita o derivadas implícitas.

Derivadas implícitas.

Generalmente una función esta definida por una variable dependiente que es Y y por una variable independiente que es X, llamas funciones explicitas, pero existen unas funciones denominadas implícita, donde la variable dependiente no esta definida, es decir, no se encuentra despejada, forma parte de la función donde se ubica la variable independiente, conformando un mismo argumento, siendo en la mayoría de los casos imposible despejarla, por ejemplo:

xsen(y)+3y^{3}-2x\sqrt{y}=0

Para derivar este tipo de funciones se debe considerar a X como la variable independiente transformándose Y en una función, para finalmente aplicar los procesos de derivación antes estudiados o incluso la regla de la cadena.

Es importante aclarar que al derivar las funciones implícitas, se deriva el termino en función a la variable x y después se deriva el mismo termino pero considerando la variable Y anexando Y´ donde {Y}'=\frac{dy}{dx}.

Derivadas parciales implícitas.

Con ya hemos visto hasta ahora, no todas las funciones suelen escribirse explicitamente, dado que sus dos variables se encuentran relacionas, pero surgen entre las funciones implícitas una situación mas compleja,  como lo es la presencia de tres o mas variables, dependiendo una de la otra a través de una igualdad, por ejemplo: 2x+3y-z=2.

Para derivar estas funciones surge el termino derivada parcial implícita, donde se analizan las variables una a una, como si ellas fueran variables independientes, para ello se calcula la derivada de una variable respecto a otra, generando que la tercera variable sea una constante, es decir, derivamos Y respecto a X quedando Z como una constante. Si tenemos  2x+3y-z=2, se desea derivar  Y respecto a X, se denota:

\frac{d(2x)}{dx}+\frac{d(3y)}{dx}-\frac{d(z)}{dx}=\frac{d(2)}{dx}

donde la derivada de Z y 2 por ser constante el resultado es cero, para derivar Y se aplica la regla de la cadena, escribiendo Y´al realizar la derivada, en la derivada de X se aplican las propiedades ya estudiadas según sea el caso, veamos;

2+3{y}'-0=0

seguidamente despejamos y´

y´=2/3

Si se desea derivar X en función a Z, la variable Y seria una constante.

Resolución de derivadas implícitas.

Resolver las siguientes derivadas:

1.- 5x-y=3

{(5x-y)}'={3}'

{{(5x)}'-(y)}'={3}'

5-{y}'=0

{y}'= 5

2.- x^{5}+y^{2}-4z=0         derivar Y respecto a Z

{x^{5}}'+{y^{2}}'-{4z}'={0}'

si derivamos Y respecto a Z, quiere decir, que la variable X es una constante, entonces;

{x^{5}}'+{y^{2}}'-{4z}'={0}'

0+2y{y}'-4={0}'

2y{y}'= 4

{y}'= \frac{2}{y}