Dentro del estudio de los límites indeterminados, nos encontramos con la indeterminación del tipo  (∞ -∞), dicha indeterminación se presenta por la diferencia de dos funciones polinómicas.

Limite indeterminado (∞ -∞).

Para eliminar este tipo de indeterminación se suele multiplicar y dividir por la conjugada o en algunos casos se realizan operaciones algebraicas, es importante acotar,  una vez ejecutadas cualquieras de las opciones para eliminar la indeterminación y al evaluar nuevamente el límite, se puede presentar otra indeterminación del tipo \frac{\infty }{\infty }\, teniendo que utilizar  el procedimiento para este caso.

Resolución de limites indeterminados (∞ -∞).

Vamos a resolver varios ejercicios para comprender el procedimiento para eliminar la indeterminación (∞ -∞):

a.- \lim_{x\rightarrow 3}(\frac{3}{3-x}- \frac{18}{9-X^{2}})

se evalúa el límite

=(\frac{3}{3-3}- \frac{18}{9-3^{2}})

=(\frac{3}{0}- \frac{18}{0})

=(\infty - \infty )

Para eliminar la indeterminación aplicaremos ciertas operaciones básicas como resta de fracciones, pero previamente factorizamos 9-X^{2}

= \lim_{x\rightarrow 3}(\frac{3}{3-X}- \frac{18}{(3+X)(3-X)}) se calcula el mínimo

= \lim_{x\rightarrow 3}(\frac{3(3+X)-18}{((3+X)(3-X)}   resolvemos el producto del numerador

= \lim_{x\rightarrow 3}(\frac{9+3X-18}{((3+X)(3-X)}

= \lim_{x\rightarrow 3}(\frac{3X-9}{(3+X)(3-X)}) factorizamos el numerador por el método de factor común,

= \lim_{x\rightarrow 3}(\frac{-3(3-x)}{(3+X)(3-X)}) simplificamos eliminando 3-X

= \lim_{x\rightarrow 3}(\frac{-3}{(3+X)}) evaluamos

=\frac{-3}{(3+3)}

=\frac{-3}{6}

=-\frac{1}{2}

 

b.- {\lim_{x\rightarrow\infty }(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})

{\lim_{x\rightarrow\infty }(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})= \infty -\infty   se multiplica y se divide por la conjugada;

={\lim_{x\rightarrow\infty } (\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}})

={\lim_{x\rightarrow\infty } (\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}) al resolver el producto de una suma por su diferencia queda;

={\lim_{x\rightarrow\infty } (\frac{({x+1}-{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}})

={\lim_{x\rightarrow\infty } (\frac{{1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}})

=\frac{1 }{\infty }

= 0

 

c.-  \lim_{x\rightarrow\infty } \sqrt{(X^{2}+2X-3)}-X

al evaluar se obtiene como resultado una indeterminación del tipo \infty - \infty, se procede a eliminar la indeterminación aplicando la conjugada de la siguiente manera

 

\lim_{x\rightarrow\infty } \sqrt{(X^{2}+2X-3)}-X =\lim_{x\rightarrow\infty } \frac{(\sqrt{(X^{2}+2X-3)}-X).(\sqrt{(X^{2}+2X-3)}+X)}{\sqrt{(X^{2}+2X-3)}+X}

 

=\lim_{x\rightarrow\infty } \frac{X^{2}+2X-3-X^{2}}{\sqrt{(X^{2}+2X-3)}+X}      se restan los términos comunes, en este caso X^{2}

 

=\lim_{x\rightarrow\infty } \frac{2X-3}{\sqrt{(X^{2}+2X-3)}+X}   Se evalúa nuevamente quedando una segunda indeterminación del tipo \frac{\infty }{\infty } procediendo a dividir el numerador y el denominador por el termino de mayor exponente siendo el caso X, resaltando que para introducir la variable X dentro de la raíz se convierte en X^{2}

 

=\lim_{x\rightarrow\infty } \frac{\frac{2X}{X}-\frac{3}{X}}{\sqrt{(\frac{X^{2}}{X^{2}}+\frac{2X}{X^{2}}-\frac{3}{X^{2}})}+\frac{X}{X}}

 

=\lim_{x\rightarrow\infty } \frac{2-\frac{3}{X}}{\sqrt{(1+\frac{2}{X}-\frac{3}{X^{2}})}+1}  se evalúa el limite

 

=\lim_{x\rightarrow\infty } \frac{2-\frac{3}{\infty }}{\sqrt{(1+\frac{2}{\infty }-\frac{3}{\infty ^{2}})}+1}

 

=\frac{2-0}{\sqrt{(1+0-0)}+1}

 

=\frac{2}{\sqrt{(1)}+1}

=\frac{2}{2}

= 1