El Límite es un contenido importante dentro del estudio del calculo diferencial, específicamente en el análisis del comportamiento de una función, permitiendo comprender otros conceptos como por ejemplo continuidad y derivación.

Noción intuitiva de límite

Para comprender mejor lo que es el límite de una función en determinado punto antes de pasar a su definición formal (en términos matemáticos), quisiera antes hablar un poco de lo que se conoce como la noción intuitiva de límite, para ello utilizaremos la función.

f(x)=\frac{{(x^2-1)}}{x-1}

Y estudiaremos su comportamiento cuando “x” toma un valor cercano a “1”, para conseguir esto, le daremos valores a la variable cercanos a dicho valor obteniendo la siguiente tabla de valores.

xf(x)xf(x)
0.51.51.52.5
0.751.751.252.25
0.851.851.152.15
0.91.91.12.1
0.991.991.012.01

Podemos notar claramente que a medida que “x” toma valores cada vez más cercanos a “1” tanto por la derecha (x>1) como por la izquierda (x<1), el valor de la función se acerca cada vez más a “2”. Algo que podemos apreciar mejor si graficamos la función dada con lo cual obtendríamos algo como esto:

limite d euna funcion cuando x tiende a 1
Con un punto vacío en (1,2) puesto que la función no está definida en ese punto.

En este caso decimos entonces que la función tiende a “2” cuando el valor de la variable se acerca a “1” y nos da la base para establecer la llamada definición intuitiva de límite de este modo:

El límite de una función F(x) en determinado punto (a), es el valor al que se acerca la función (L) a medida que la variable independiente (x) se acerca cada vez mas a dicho punto. Esto se denota como:

\lim_{x\rightarrow a}F(x)=L

Y se lee: El límite de “F” de “x” cuando “x” tiende a “a” es “L”

Es importante acotar, para que el límite de una función exista, se debe cumplir:

1.- Cuando x tiende (a) debe existir un único valor L.

2.- Que los límites laterales sean iguales,  es decir, al evaluarse el limite por la derecha como por la izquierda, su resultado deben ser iguales a L, denotándose como:

\lim_{x\rightarrow a}F(x)=L \leftrightarrow \lim_{x\rightarrow a{+}}F(x)=\lim_{x\rightarrow a{-}}F(x)

Definición formal de límite

El límite de una función F(x) cuando “x” tiende a “a” es igual a L, donde para cada valor \varepsilon > 0 le corresponde un \delta > 0,  tal que:

0< \left | x-a \right |< \delta entonces \left | F(x)-L \right |< \varepsilon

denotándose como:

\lim_{x\rightarrow a}F(x)=L

Donde (a) es una constante y L un numero perteneciente a los reales.

Para comprender la existencia de un límite a partir de esta definición, se tiene el siguiente ejemplo:

.- Demostrar que le \lim_{x\rightarrow 2}X^{2}  existe aplicando la definición formal o definición de epsilon-delta.

Por definición  se dice que 0< \left | x-a \right |< \delta      entonces     \left | F(x)-L \right |< \varepsilon

considerando el limite en estudio, se procede en primer lugar a evaluar;

\lim_{x\rightarrow 2}X^{2}= 4     por definición  se tiene que   0< \left | x-2 \right |< \delta     entonces    \left | X^{2}-4 \right |< \varepsilon

para demostrarlo procedemos de la siguiente manera

\left | X^{2}-4 \right |< \epsilon         aplicamos diferencia de la suma por su diferencia

\left | X-2 \right |\left | X + 2 \right |< \epsilon        despejamos \left | X-2 \right |

\left | X-2 \right |< \frac{\epsilon }{\left | X+2 \right |}     seguidamente se asume un valor para \delta, en esta oportunidad seria 1 y sustituimos en la expresión del intervalo por definición de \delta

\left | x-2 \right |< \delta

\left | x-2 \right |< 1          eliminamos el valor absoluto y por propiedades de las inecuaciones quedaría la expresión

-1 < x-2 < 1      despejamos la variable

-1+2 < x < 1+2

1 < x < 3       partiendo de este intervalo se construye la expresión X + 2 para ello se le suma 2

1+2 < x+2 < 3 +2

3 < x+2 < 5         como el valor mas grande que puede asumir x +2 es 5 se dice  que    \frac{\epsilon }{\left | X+2 \right |}=\frac{\epsilon }{5}     por tanto \delta  asume un valor mínimo entre 1   y   \frac{\epsilon }{5}

\left | X-2 \right |\left | X + 2 \right |< \epsilon        demostramos la existencia del limite utilizando el valor máximo que asume X + 2

\left | X-2 \right |\left | X + 2 \right |< \left | X-2 \right | . 5      se sustituye el valor mínimo que asume X – 2 cuando \delta asume el valor de 1, que en este caso es   \frac{\epsilon }{5}

\left | X-2 \right |\left | X + 2 \right |< \frac{\epsilon }{5} . 5         se simplifica la expresión eliminando los 5, quedando

\left | X-2 \right |\left | X + 2 \right |< \epsilon

\left | X^{2}-4 \right |< \epsilon                        finalmente se demuestra a partir de un valor de \delta  que el limite existe

 

Cálculo de límites en la práctica:

En la práctica, para calcular un límite, no es necesario aplicar la definición anterior, generalmente suele ser más sencillo y en muchos de los casos basta con sustituir el valor al que tiende X en la función y aplicar las operaciones básicas.

Aunque hay limites más complejos donde es necesario aplicar las propiedades de los límites así como otros métodos para las transformaciones algebraicas, entre los que se encuentra la factorización y racionalización, facilitando los cálculos.

Para comprender mejor  como se resuelve un limite tenemos el siguiente ejemplo:

\lim_{x\rightarrow 1}X^{2}-X+1

simplemente sustituimos el valor que tiende X en la función, en cada termino donde se encuentre la variable X

\lim_{x\rightarrow 1}X^{2}-X+1= (1)^{2}-1+1    se procede a resolver las operaciones básicas

\lim_{x\rightarrow 1}X^{2}-X+1= 1

Es importante acotar que cuando se resuelve un limite de esta forma,  es decir, solo sustituir en la función y resolver las operaciones, estamos en presencia de un límite unilateral, pero si asignamos valores a X por la derecha y por la izquierda próximos a 1 y sustituimos en la función, estamos calculando un limite lateral.

Los límites, dentro del estudio del calculo diferencial se clasifican en cuatro tipos:

.- Limites laterales.

.- Límites indeterminados.

.- Limites infinito.

.- Limites trigonométricos.

En el caso de los limites indeterminados,  es necesario aplicar artilugios matemáticos para calcular su valor y el procedimiento a aplicar varía según el tipo de indeterminación que se genere. Dentro de estos límites se encuentran:

  •  Infinito entre infinito  \frac{\infty }{\infty }\.
  • Cero entre cero  \frac{0}{0}
  • Infinito menos infinito    \infty -\infty
  • Cero por infinito      0.\infty
  • Cero elevado a cero     0^{0}
  • Infinito elevado a cero      \infty ^{0}
  • Uno elevado a infinito     1^{\infty }

Estos son los casos que más suelen analizarse en el estudio de límites por lo que probablemente son los casos que podrás ver con mayor frecuencia en tu paso por el cálculo diferencial e integral, te recomiendo que le des un vistazo a las explicaciones y ejemplos que te he dejado en cada enlace.