Dentro de las funciones básicas trigonométrica se encuentra el coseno, hoy nos centraremos a realizar algunos ejercicios de derivas de dicha función.

Derivada del coseno.

Como ya hemos estudiado la función coseno cuenta con su derivada elemental \frac{d}{dx}Cos(x)=-Sen(x).\frac{d}{dx}(x), de aquí partiremos para la resolución de los ejercicios conjuntamente con las relaciones trigonométricas según sea el caso.

Resolver las siguientes derivadas.

1.- {Y}=Cos(x^{2})

como  \frac{d}{dx}Cos(x)=-Sen(x).\frac{d}{dx}(x)

{Y}'=-Sen(x^{2}).{(x^{2})}'

{Y}'=-Sen(x^{2}).(2x)

 

2.- Y=Cos^{2}(x)-Sen^{2}(x)

Si observamos  la relación trigonométricas Cos^{2}(x)-Sen^{2}(x)= Cos(2x), al sustituir quedaría;

Y=Cos(2x) donde

\frac{d}{dx}Cos(x)=-Sen(x).\frac{d}{dx}(x)

{Y}'=-Sen(2x).{(2x)}'

{Y}'=-Sen(2x).({2}'x+2{x}')

recordemos que la derivada de una constante es cero por tanto;

{Y}'=-Sen(2x).(0x+2.1)

{Y}'=-2Sen(2x)

 

3.- Y=4Cos(x)+Sen(x)Ctg(x)

antes de derivar tomemos en cuenta la relación trigonométrica Ctg(x)=\frac{Cos(x)}{Sen(x)},  sustituimos y simplificamos

Y=4Cos(x)+Sen(x)\frac{Cos(x)}{Sen(x)}

 

Y=4Cos(x)+Cos(x)

podemos resolver de dos forma, la primera es aplicando las propiedades de la derivadas, tenemos una suma y producto

{Y}'={4Cos(x)}'+{Cos(x)}'

{Y}'=({4}'Cos(x)+4{Cos(x)}')+{Cos(x)}'

donde \frac{d}{dx}Cos(x)=-Sen(x).\frac{d}{dx}(x)  y la derivada de una constante es cero

{Y}'=(0Cos(x)-4Sen(x))-Sen(x)

{Y}'=-4Sen(x)-Sen(x)

{Y}'=-5Sen(x)

La segunda forma y mas corta es

Y=4Cos(x)+Cos(x)

Y=5Cos(x)

al derivar quedaría

{Y}'=-5Sen(x)

 

4.- Y=Ln(Cos(x))

como \frac{d}{dx}Ln(x)=\frac{\frac{d}{dx}(x)}{x} entonces;

{Y}'=\frac{{Cos(x)}'}{Cos(x)}

donde \frac{d}{dx}Cos(x)=-Sen(x).\frac{d}{dx}(x)

{Y}'=\frac{-Sen(x)}{Cos(x)}

si aplicamos las relación trigonométrica   Tag(x)=\frac{Sen(x)}{Cos(x)}

{Y}'=-Tag(x)