Factor integrante

El factor integrante de una ecuación diferencial no es más que un acuerdo matemático que nos permite o más bien nos facilita la resolución de una ecuación diferencial. Es posible que cierto tipo de ecuaciones diferenciales requieran de un factor integrante particular para poder encontrar su solución general, en ese caso se dice que ciertas ecuaciones admiten un factor integrante. También se puede dar la tarea de demostrar si una ecuación diferencial admite o no un Factor Integrante específico.

Definición del Factor Integrante

Sea la ecuación diferencial

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0     (I)

con \dfrac{\partial P}{\partial y}\neq\dfrac{\partial Q}{\partial x}; entonces diremos que (I) no es exacta, en tal caso se dice que \mu es un factor integrante de dicha ecuación si:

\mu P(x,y)dx+\mu Q(x,y)dy=0 (II)

es una E.D.O exacta, lo cual indica que (II) verifica la condición de exactitud, es decir: \dfrac{\partial \mu P}{\partial y}=\dfrac{\partial \mu Q}{\partial x}.

TEOREMA
La ecuación diferencial no exacta P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, admite un factor integrante \mu, siendo v un arreglo de x y y, si y solo si:
f(v)=\dfrac{\dfrac{\partial P}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial x}}{Q \dfrac{\partial v}{\partial x}-P \dfrac{\partial v}{\partial y}}
$ f(v) es una función del arreglo v seleccionado y el factor integrante \mu se determina de la siguiente manera:
\mu(v)=e^{\int f(v)dv}

Como hallar un factor integrante

La importancia de este teorema es su aplicación directa para el cálculo de factores integrantes, para ello se estudiarán los siguientes casos:

Factor Integrante que depende de x

Cuando el factor integrante \mu depende de x solamente se tiene que:  \dfrac{\partial v}{\partial x}=1, \dfrac{\partial v}{\partial y}=0 por lo tanto

f(x)=\dfrac{\dfrac{\partial P}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial x}}{Q}

de modo que si f es una función que depende solo de x, el factor integrante \mu se determina de la siguiente forma:

\mu(x)=e^{\int f(x)dx}

Factor Integrante que depende de y

Cuando el factor integrante \mu depende de y solamente se tiene que:  \dfrac{\partial v}{\partial x}=0 ,\dfrac{\partial v}{\partial y}=1 por lo tanto

f(y)=\dfrac{\dfrac{\partial P}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial x}}{-P}

de modo que si f es una función que depende solo de y, el factor integrante \mu se determina de la siguiente forma:

\mu(y)=e^{\int f(y)dy}

Factor Integrante que depende de x+y

Cuando el factor integrante \mu depende de x+y, se tiene que: \dfrac{\partial v}{\partial x}=1, \dfrac{\partial v}{\partial y}=1 por lo tanto

f(x+y)=\dfrac{\dfrac{\partial P}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial x}}{Q-P}

de modo que si f es una función que depende solo de x+y, el factor integrante \mu se determina de la siguiente forma:

\mu(x+y)=e^{\int f(x+y)d(x+y)}

Factor Integrante que depende de x+y

Cuando el factor integrante \mu depende de x+y, se tiene que: \dfrac{\partial v}{\partial x}=1, \dfrac{\partial v}{\partial y}=-1 por lo tanto

f(x-y)=\dfrac{\dfrac{\partial P}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial x}}{Q+P}

de modo que si f es una función que depende solo de x-y, el factor integrante \mu se determina de la siguiente forma:

\mu(x-y)=e^{\int f(x-y)d(x-y)}

Factor Integrante que depende de xy

Cuando el factor integrante \mu depende de xy, se tiene que: \dfrac{\partial v}{\partial x}=y , \dfrac{\partial v}{\partial y}=x por lo tanto

f(xy)=\dfrac{\dfrac{\partial P}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial x}}{yQ-xP}

de modo que si f es una función que depende solo de xy, el factor integrante \mu se determina de la siguiente forma:

\mu(xy)=e^{\int f(xy)d(xy)}

Factor Integrante que depende de x^{2}+y^{2}

Cuando el factor integrante \mu depende de x^{2}+y^{2} , se tiene que: \dfrac{\partial v}{\partial x}=2x, \dfrac{\partial v}{\partial y}=2y por lo tanto

f(x^{2}+y^{2})=\dfrac{\dfrac{\partial P}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial x}}{2xQ-2yP}

de modo que si f es una función que depende solo de x^{2}+y^{2}, el factor integrante \mu se determina de la siguiente forma:

\mu(x^{2}+y^{2})=e^{\int f(x^{2}+y^{2})d(x^{2}+y^{2})}

Ejemplo de cálculo del factor integrante

Ejemplo 1

Determinar la solución general de la E.D.O

\left[ 2y+e^{-2x}sen(x)\right]dx +\left( 1+ye^{-2x}\right) dy =0

Solución:

Paso 1: Identificar si la ecuación diferencial dada es exacta:

Esta ecuación diferencial no es exacta, ya que \dfrac{\partial P}{\partial y}=2 y \dfrac{\partial Q}{\partial x}=-2ye^{-2x}, por lo tanto probaremos si admite un factor integrante.

Paso 2: Probar si la ecuación diferencial admite un factor integrante.

Primero probaremos si admite un factor integrante que depende de x

f(x)=\dfrac{2-(-2ye^{-2x})}{1+ye^{-2x}}=\dfrac{2\left(1+ye^{-2x}\right) }{1+ye^{-2x}}=2

Como f depende de x ya que es una constante podemos concluir que la E.D.O admite un factor integrante de x.

Paso 3: Determinar el factor integrante $ \mu $.

determinando el factor integrante \mu se tiene que

\mu(x)=e^{\int 2\, dx }=e^{2x}

Paso 4: Multipicar la E.D.O por el factor integrante \mu.

Multiplicando la E.D.O por el factor integrante, se obtiene

\left[ 2ye^{2x}+sen(x)\right]dx +\left( e^{2x}+y\right) dy =0

que es una E.D.O exacta,ya que \dfrac{\partial P}{\partial y}=2e^{2x} $ y $ \dfrac{\partial Q}{\partial x}=2e^{2x}.

Paso 5: Resolver la E.D.O exacta.

Para resolver la E.D.O exacta se integra respecto a x, obteniéndose

U(x,y)=\int_{y=ctte}^{x} \left[ 2ye^{2x}+sen(x)\right] \, dx+h(y) = ye^{2x}-cos(x)+h(y)

para determinar h(y), se tiene que \dfrac{\partial U}{\partial y}=Q por lo tanto

e^{2x}+h^{\prime}(y)=e^{2x}+y

despejando e integrando para obtener h(y) 

h(y)={\int} y \, dy=\dfrac{y^{2}}{2}

finalmente la solución general es

ye^{2x}-cos(x)+\dfrac{y^{2}}{2}= C

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