Dentro de los límites de funciones exponenciales se encuentra la indeterminación cero elevado a la cero 0^{0}.

Indeterminación 0^{0}.

Esta indeterminación se elimina aplicando la expresión \lim_{x\rightarrow a}(F(x))^{G(x)}=\varrho ^{{\lim_{x\rightarrow a }}(G(x). Ln (F(x))}, seguro se te hace conocida, dado que es la misma a la utilizada en limite indeterminado infinito elevado a la cero \infty ^{0}. Es importante resaltar en para el límite 0^{0} una vez aplicada la expresión exponencial suele quedar otra indeterminación del tipo \frac{\infty }{\infty } o \frac{0}{0} motivo por el cual es muy común utilizar la regla de L’hopital, te recomendamos repasar derivadas para facilitar la resolución de estos ejercicios.

Resolución de limites interinados de la forma 0^{0}.

Vamos a resolver algunos ejercicios:

a.- \lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{2}{X})^\frac{1}{X}

evaluamos y recordemos que un numero entre infinito es cero, por tanto

=(\frac{2}{\infty })^\frac{1}{\infty }

=0^0     una vez evidenciada la indeterminación aplicamos la expresión

\lim_{x\rightarrow a}(F(x))^{G(x)}=\varrho ^{{\lim_{x\rightarrow a }}(G(x). Ln (F(x))}

\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{2}{x})^{(\frac{1}{X})}=\varrho ^{{\lim_{x\rightarrow \infty }}((\frac{1}{X}). Ln (\frac{2}{X})}  se evalúa

=\varrho ^{{}(\frac{1}{\infty }). Ln (\frac{2}{\infty })}

=\varrho ^{0.(-\infty) }   se nos presenta otra indeterminación, para eliminarla regresado a la expresión exponencial y resolvemos el producto

\varrho ^{{\lim_{x\rightarrow \infty }}((\frac{1}{X}). Ln (\frac{2}{X})}=\varrho ^{{\lim_{x\rightarrow \infty }}(\frac{1.Ln (\frac{2}{X})}{X})}

 

=\varrho ^{{\lim_{x\rightarrow \infty }}(\frac{Ln (\frac{2}{X})}{X})}

si evaluamos nos quedaría otra indeterminación pero esta vez es \frac{\infty }{\infty }  , ante esta situación aplicamos la regla de L’hopital, la cual consiste en derivar el numerador y el denominador hasta eliminar la indeterminación.

Como L’hopital se denota:

\lim_{x\rightarrow a}\frac{F(x)}{G(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{F'(x)}{G'(x)}

 

 

y Para facilitar la comprensión de esta regla, vamos a derivar por separado cada función del ejercicio donde

F(x)=Ln(\frac{2}{x})        y           G(x)= X   y derivamos, recordamos que la derivada Ln(x)=\frac{1}{x}.x'  y la derivada de un cociente es la derivada del numerado por el denominador sin derivar menos la derivada del denominador por el numerador sin derivar entre el denominador al cuadrado, empecemos;

F'(x)=(\frac{1}{\frac{2}{x}}).(\frac{2}{x})'  aplicamos la doble C en la primera función y derivamos la segunda

F'(x)=({x}).(\frac{(0.x)-(2.1)}{x^{2}}) resolvemos las operaciones básicas y simplificamos las variables comunes

F'(x)=(\frac{-1}{x})   ya derivado F(x) derivamos G(x)

G'(x)= 1    una vez culminada las derivaciones sustituimos en =\varrho ^{{\lim_{x\rightarrow \infty }}(\frac{Ln (\frac{2}{X})}{X})} dichos resultados

=\varrho ^{\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{\frac{1}{X}}{1})} aplicamos la doble C y evaluamos

=\varrho ^{\lim_{x\rightarrow \infty }({\frac{1}{X}})}

=\varrho ^{\frac{1}{\infty }}

=\varrho ^{0}

=1

 

b.- \lim_{x\rightarrow 0}(2x)^{sen(x)}

evaluamos la función

=(2.0)^{sen(0)}

=0^{0}

para resolver la indeterminación aplicamos primero \lim_{x\rightarrow a}(F(x))^{G(x)}=\varrho ^{{\lim_{x\rightarrow a }}(G(x). Ln (F(x))} quedando

=\varrho ^{{\lim_{x\rightarrow 0 }}(sen(x).Ln(2x)) si evaluamos queda otra indeterminación del tipo 0.\infty, para eliminar esta indeterminación aplicamos la regla de L’hospital, pero recordemos que la misma solo se puede utilizar en indeterminaciones del tipo  \frac{\infty }{\infty }  o  \frac{0}{0}, por lo tanto hay que transformar 0.\infty en algunas de las indeterminaciones antes mencionadas, para ello aplicamos lo siguiente;

sen(x)=\frac{1}{\frac{1}{sen(x)}}    partiendo se esto sustituimos sin alterar la función

=\varrho ^{{\lim_{x\rightarrow 0}}(\frac{1}{\frac{1}{sen(x)}}.Ln(2x))         resolvemos el producto

=\varrho ^{{\lim_{x\rightarrow 0 }}(\frac{Ln(2x)}{\frac{1}{sen(x)}}.)          si evaluamos  nos quedaría la indeterminación \frac{\infty }{\infty }, veamos

=\varrho^{(\frac{Ln(2.0)}{\frac{1}{sen(0)}

=\varrho^{\frac{-\infty }{\infty }}    con esto la función cumple con la estructura pata aplicar L’hopital

procedemos a derivar el numerador y el denominador pero separemos las funciones para facilitar el entendimiento de las operaciones y al final se sustituyen lo resultados

si tenemos a \varrho ^{{\lim_{x\rightarrow 0 }}(\frac{Ln(2x)}{\frac{1}{sen(x)}}.)        donde F(x)=Ln(2x)      y        G(x)= \frac{1}{sen(x)} derivemos

F(x)=\frac{1}{2x}.(2x)'       acotemos que, la derivada de un producto es el primer termino derivado por el segundo sin derivar mas el segundo derivado por el primero sin derivar.

F(x)=\frac{1}{2x}.(2) simplificamos

F(x)=\frac{1}{x}   derivemos G(x)

G'(x)={\frac{1}{sen(x)}}     la derivada de una división es el numerador derivado por el denominador sin derivar menos el denominador derivado por el numerador sin derivar entre el denominador al cuadrado

G'(x)=\frac{(0.sen(x)-1.cos(x))}{sen(x)^{2}} resolvemos algunas operaciones

G'(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)^{2}}       ahora sustituimos en  \varrho ^{{\lim_{x\rightarrow 0 }}(\frac{Ln(2x)}{\frac{1}{sen(x)}}.) y aplicamos la doble C

=\varrho ^{{\lim_{x\rightarrow 0 }}(\frac{sen(x)^{2})}{-X.cos(x)})     si evaluamos obtenemos otra indeterminación, esta vez del tipo \frac{0}{0}  y aplicamos nuevamente L’hospital

=\varrho ^{{\lim_{x\rightarrow 0 }}(\frac{sen(x)^{2})}{-X.cos(x)})  derivamos la función del numerador y la del denominador

=\varrho ^{{\lim_{x\rightarrow 0 }}-(\frac{2sen(x).cos(x))}{cos(x)+X(-sen(x))})                      se evalúa

=\varrho ^{-(\frac{2sen(0).cos(0))}{cos(0)+X(-sen(0))})          recordemos que seno de cero es cero y el coseno de cero es uno

=\varrho ^-{\frac{0}{1}}

=\varrho ^{0}

=1