Factorización de polinomios

En los polinomios ( binomios, trinomios, monomios), podemos realizar factorizaciones con sus factores; es decir, podemos a través de su uso, llegar a reducir las expresiones dadas. Este procedimiento está cubierto por diversas ramas, entre las cuales podemos nombrar: (la aritmética, el álgebra, y los algoritmos). En el siguiente post estudiaremos las diferentes definiciones de la factorización y conoceremos los distintos métodos para llevar a cabo este proceso.

Qué es la factorización

La factorización; es un proceso matemático que consiste en expresar en forma de producto una expresión algebraica que se encuentra en forma de suma o resta. Para efectuar este proceso lo primero que debemos hacer es identificar el factor que es común en todos los términos y posteriormente agruparlos.

La factorización, podemos decir que es el proceso inverso a multiplicar.

Factorización de un polinomio

La factorización de un polinomio;  consiste en descomponerlo en dos o más polinomios a los cuales llamaremos factores (porque se estarán multiplicando); de tal manera que al resolver la multiplicación entre ellos se obtenga el polinomio original

Por ejemplo:

1.-    a(a+b)=a^{^{2}}+ab

2.-    2a^{3}+8a^{2}b=2a^{2}(a+4b)

3.-    x^{2}+x=x(x+1)

4.-    4x+8xy=4x(1+2y)

Por qué es importante factorizar

La factorización es importante, ya que a través de ella, lo que se busca es facilitar y reducir un problema; es decir, nos sirve de gran ayuda porque, por medio de su aplicación podemos convertir un problema extenso, en partes mas pequeñas y sencillas; y de ésa manera reducir su dificultad.

La factorización además de ser un tema algebraico, podemos decir que también es un tema de nuestra vida cotidiana ya que nos permite solucionar problemas y dificultades que se nos presentan en varias ramas como lo son: la medicina, la ingeniería, la economía.

En conclusión;  siempre que intentamos reducir un problema grande (sin importar su naturaleza) en pequeños problemas, fáciles de resolver estaremos poniendo en práctica la factorización. Ejemplo: cuando compramos, organizamos, manejamos, construimos, entre otros.

Tipos de factorización

Existen distintos tipos de factorización; cada uno con sus características particulares, su diferente forma de expresar y de resolver; entre los cuales podemos mencionar:

  1. Factorización por factor común de un polinomio.
  2. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto.
  3. Factorización de un trinomio de la forma:  \small x^{2}+bx+c      y     \small ax^{2}+bx+c
  4. Factorización por diferencia de cuadrados.
  5. Factorización por suma y diferencia de cubos.
  6. Factorización por ruffini.

Ejemplos de los tipos de factorización de polinomios, 21 ejercicios resueltos

Por factor común:

1.-    \small x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1)

2.-  \small 3x^{6}-6x^{4}+12x^{3}=3x^{3}(x^{2}-2x+4)

3.-  \small 45x^{10}-30x^{6}-10x^{4}=5x^{4}(9x^{6}-6x^{2}-2)

Por trinomio cuadrado perfecto:

4.-    \small x^{2}+10x+25=(x+5)^{2}

5.-    \small y^{2}+8y+16=(y+4)^{2}

6.-     \small \frac{1}{25}x^{50}+\frac{1}{10}x^{25}+\frac{1}{16}=\left (\frac{1}{5}x^{25}+\frac{1}{4} \right )^{2}

7.-    \small 4x^{2}-24x+36=(2x-6)^{2}

8.-  \small 400x^{10}-40x^{5}+1=(20x^{5}-1)^{2}

Por factorización de un trinomio de la forma:  \small x^{2}+bx+c      y     \small ax^{2}+bx+c

8.-    \small x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3)

9.-    \small x^{2}+11+30=(x+5)(x+6)

10.-  \small x^{2}-11+30=(x-5)(x-6)

11.-    \small x^{6}+x^{3}-2=(x^{3}-1)(x^{3}+2)

12.-   \small 4x^{2}+12x+9=(2x+3)(2x+3)

13.-    \small 13y^{2}-7x-6=(y-1)(13y+6)

Factorización por diferencia de cuadrados

14.-    \small x^{4}-9=(x^{2})^{2}-(3)^{2}=(x^{2}+3)(x^{2}-3)

15.      \small x^{2}-5^{2}=(x+5)(x-5)

16.-    \small x^{2}-4^{2}=(x+4)(x-4)

17.-    \small x^{4}-1=(x^{2})^{2}-1^{2}=(x^{2}+1)(x^{2}-1)

Factorización por suma y diferencia de cubos

18.-    \small x^{3}+2^{3}=(x+2)(x^{2}+2^{2}-2x)=(x+2)(x^{2}+4-2x)

19.-    \small 8x^{6}+3^{3}=(2x^{2})^{3}+3^{3}=(2x^{2}+3)\left [(2x^{2})^{2}+3^{2}-(2x^{2})(3) \right ]

\small =(2x^{2}+3)(4x^{4}+9+12x^{2})

20.-    \small (3x)^{3}-2^{3}=(3x-2)\left [(3x)^{2}+2^{2}+(3x)(2)]=(3x-2)(9x^{2}+4+6x)

Factorización por ruffini

21.-      \small x^{3}-3x+2=(x+1)^{2}(x-2)

22.-    \small x^{3}-5x^{2}-9x+45=(x-3)(x+3)(x-5)

Cuando no se puede factorizar un polinomio

El proceso de factorización no se puede realizar; cuando nos encontramos con un polinomio irreducible; es decir, un polinomios que no es posible descomponerlo en factores para expresarlo como un producto de dos polinomios, y que solo se puede expresar como producto del número uno (1).

Ejemplos de polinomios que no se pueden factorizar

1.-    \small x^{2}+x+1

No se puede factorizar, ya que no existen dos número enteros, tal que si los multiplicamos el resultado sea uno (1) y si los sumamos el resultado también sea uno (1).

2.-    \small x^{2}+1

3.-    \small x^{2}+4

4.-    \small x+z