Factorización de la diferencia de dos cuadrados, su formula, 11 ejemplos

En la factorización de polinomios, nos podemos encontrar con diversos métodos, uno de esos métodos es la factorización de la diferencia de cuadrados. En el siguiente post estudiaremos las definiciones acerca de ese tipo de factorización, sus características, formulas y los distintas maneras de su aplicación.

Contents

1 Qué es un término cuadrado perfecto
- 1.1 Cuando los términos son cuadrados perfectos?
2 Qué es una diferencia
3 Qué es la diferencia de cuadrados
4 Qué es la factorización de la diferencia de cuadrados
5 Formula o forma de la factorización de la diferencia de dos cuadrados
6 Cómo resolver la factorización de una diferencia de cuadrados
7 Cómo saber que se debe aplicar este tipo de factorización
- 7.1 Ejercicios de la factorización de una diferencia de cuadrados, 11 ejemplos resueltos
  - 7.1.1 Otros ejercicios de factorización de la diferencia de dos cuadrados

Antes de hacer el estudio de la factorización de la diferencia de dos cuadrados, es necesario conocer algunos puntos como los son: qué es término cuadrado, qué es una diferencia, qué es una diferencia de cuadrados.

Qué es un término cuadrado perfecto

Es aquella expresión matemática que tiene raíz exacta.

Cuando los términos son cuadrados perfectos?

Los términos que pueden ser cuadrados son:

1.- Los números que tienen raíz exacta: $\small 4$ su raíz es igual a $\small 2$ ; la de $\small 16$ es igual a $\small 4$ ; la de $\small 100$ es igual $\small 10$ ; la de $\small 0,09$ es igual a $\small 0,09$ .

2.- Variables o letras que tienen una potencia par.

3.- Las fracciones donde el numerador y el denominador son cuadrados; es decir tienen raíz exacta.

4.- Los números que tengan variables (y/o) letras; donde el número sea cuadrado y las variables (y/o) letras tengan potencia par.

Qué es una diferencia

Cuando hablamos de diferencia en matemática nos referimos a una resta o sustracción de factores, expresiones o de términos.

Qué es la diferencia de cuadrados

Es un binomio formado por dos términos que tienen raíz cuadrada exacta y que por llamarse diferencia de cuadrados los términos se están restando; es decir: $\small a^{2}-b^{2}$

El resultado de la diferencia de cuadrados es el producto de la suma por la diferencia de sus términos, es decir: $\small (a+b)(a-b)$

Qué es la factorización de la diferencia de cuadrados

La factorización de una diferencia de cuadrados es igual al producto de dos binomios conjugados; es decir uno tendrá la operación suma y el otro tendrá la operación resta, y sus términos serán las raíces de los que están elevados al cuadrado en el binomio principal.

Formula o forma de la factorización de la diferencia de dos cuadrados

La formula o forma que tiene una diferencia de dos cuadrados es la siguiente:

$\small a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

Una diferencia de cuadrados, es el inverso del desarrollo de un producto notable llamado producto de una suma por su diferencia.

Cómo resolver la factorización de una diferencia de cuadrados

Para resolver o factorizar una diferencia de cuadrados; debemos hacerlo de la siguiente forma:

Se calcula la raíz de ambos términos.
Se forma un producto de la suma por la diferencia de las cantidades encontradas, teniendo presente que el segundo término del binomio que contiene el signo de menos (-) es la raíz del término que estaba negativo en el binomio principal.

También se hace sustituyendo directamente en la formula directamente.

Cómo saber que se debe aplicar este tipo de factorización

Para saber que debo aplicar éste tipo de factorización en un polinomio; el polinomio dado, debe tener las siguientes características:

Debe estar formado por dos términos.
Los términos del polinomio se deben estar restando sin importar el orden entre ellos; es decir lo importante es que debe haber un término con signo positivo y otro término con signo negativo.
Los dos términos que integran el polinomio deben ser cuadrados; es decir que tengan raíz exacta.

Ejercicios de la factorización de una diferencia de cuadrados, 11 ejemplos resueltos

1.- $\small x^{2}-25=$ es lo mismo que si estuviera de la siguiente manera: $\small {\color{Blue} x^{2}-5^{2}}$

Solución:

Calculamos la raíz de ambos términos

$\small x^{2}=x$

$\small 25=5$

Formamos un producto de la suma por la diferencia

$\small x^{2}-25=(x+5)(x-5)$

Podemos ver que el resultado es lo mismo que si sustituyéramos en la formula directamente.

2.- $\small x^{4}-16=$ es lo mismo que si estuviera de la siguiente manera: $\small {\color{Blue} (x^{2})^{2}-4^{2}}$

Solución:

Se calcula la raíz de ambos términos

$\small x^{4}=x^{2}$

$\small 16=4$

Formamos un producto de la suma por la diferencia

$\small x^{4}-16=(x^{2}+4)(x^{2}-4)$

Es el mismo resultado que obtuviéramos si sustituyéramos en la formula directamente.

3.- $\small x^{2}-\frac{1}{16}=$ es lo mismo que si estuviera de la siguiente manera: $\small {\color{Blue} x^{2}-\left ( \frac{1}{4} \right )^{2}}$

Solución:

Calculamos la raíz de ambos términos

$\small x^{2}=x$

$\small \frac{1}{16}=\frac{1}{4}$

Formamos un producto de la suma por la diferencia

$\small x^{2}-\frac{1}{16}=\left ( x+\frac{1}{4} \right )\left ( x-\frac{1}{4} \right )$

Se observa que el resultado es lo mismo que si sustituyéramos en la formula directamente.

4.- $\small 4x^{2}-9$ es lo mismo que si estuviera de la siguiente manera: $\small {\color{Blue} (2x)^{2}-3^{2}}$

Solución:

Se calcula la raíz de ambos términos

$\small 4x^{2}=2x$

$\small 9=3$

Formamos un producto de la suma por la diferencia

$\small 4x^{2}-9=(2x+3)(2x-3)$

Podemos ver que el resultado, es lo mismo que si sustituyéramos en la formula directamente.

5.- $x^{2}-1=$ es lo mismo que si estuviera de la siguiente manera: $\small {\color{Blue} x^{2}-1^{2}}$

Solución:

Calculamos la raíz de ambos términos

$\small x^{2}=x$

$\small 1^{2}=1$

Formamos un producto de la suma por la diferencia

$x^{2}-1=(x+1)(x-1)$

Es el mismo resultado que obtuviéramos si sustituyéramos en la formula directamente.

6.- $-x^{2}+4=$

Como podemos observar la resta está al revés; lo primero que tenemos que hacer es voltear la resta y nos queda:

$4-x^{2}=$ es lo mismo que si estuviera de la siguiente manera: $\small {\color{Blue} 2^{2}-x^{2}}$

Solución:

Se calcula la raíz de ambos términos

$\small 4=2$

$\small x^{2}=x$

Formamos un producto de la suma por la diferencia

$4-x^{2}=(2+x)(2-x)$

Se observa que el resultado es lo mismo que obtendríamos si sustituyéramos en la formula directamente.

Otros ejercicios de factorización de la diferencia de dos cuadrados

7.- $x^{2}-0,16=$ es lo mismo que si estuviera de la siguiente manera: $\small {\color{Blue} x^{2}-(0,4)^{2}}$

Solución:

Calculamos la raíz de ambos términos

$\small x^{2}=x$

$\small 0,16=0,4$

Formamos un producto de la suma por la diferencia

$x^{2}-0,16=(x+0,4)(x-0,4)$

El resultado es el mismo que obtendríamos, si sustituyéramos en la formula directamente.

8.- $x^{2}-y^{2}=$

Solución:

Se calcula la raíz de ambos términos

$\small x^{2}=x$

$\small y^{2}=y$

Formamos un producto de la suma por la diferencia

$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$

Se observa que el resultado obtenido es el mismo que si sustituyéramos en la formula directamente.

9.- $25x^{2}-4=$ es lo mismo que si estuviera de la siguiente manera: $\small {\color{Blue} (5x)^{2}-2^{2}}$

Solución:

Calculamos la raíz de ambos términos

$\small 25x^{2}=5x$

$\small 4=2$

Formamos un producto de la suma por la diferencia

$25x^{2}-4=(5x+2)(5x-2)$

Se observa que el resultado obtenido, es lo mismo que encontraríamos si sustituyéramos en la formula directamente.

10.- $(x+y)^{2}-(a+b)^{2}=$

Solución:

Se calcula la raíz de ambos términos

$\small (x+y)^{2}=x+y$

$\small (a+b)^{2}=a+b$

Formamos un producto de la suma por la diferencia

$(x+y)^{2}-(a+b)^{2}=(x+y+a+b)(x+y-a-b)$

Se observa que el resultado es lo mismo que se obtendría, si sustituyéramos en la formula directamente.

11.- $64x^{4}-81=$ es lo mismo que si estuviera de la siguiente manera: $\small {\color{Blue} (8x^{2})^{2}-9^{2}}$

Solución:

Calculamos la raíz de ambos términos

$\small 64x^{4}=8x^{2}$

$\small 81=9$

Formamos un producto de la suma por la diferencia

$64x^{4}-81=(8x^{2}+9)(8x^{2}-9)$

Se observa que el resultado es lo mismo, que si sustituyéramos en la formula directamente.