Cuando hablamos de binomios conjugados o bien sea del producto de binomios conjugados, nos referimos a un tipo de producto notable, que está formado por dos binomios, y donde la única diferencia que existe entre ellos es el signo de la operación , es decir, uno tendrá el signo de la operación suma, mientras que el otro tendrá el signo de la operación resta y que al resolverlo nos dará como resultado la resta de dos cuadrados. A continuación en éste post, haremos un estudio básico de las diferentes definiciones acerca de éste tipo de producto notable, sus características, y cuales serán los pasos que se deben seguir al momento de resolver una operación que tenga la forma de binomios conjugados.

Qué es el conjugado de un binomio

El conjugado de un binomio, se obtiene con solo cambiarle el signo a uno de los términos que lo conforman.

Ejemplos del conjugado de un binomio

1.-    (a+b)     su conjugado es    (a-b) se observa que el conjugado de (a+b) es el mismo binomio pero con operación contraria.

2.-     (a-b)     su conjugado es    (a+b)

3.-    (x+5)    su conjugado es  (x-5)

4.-    (3-x)    su conjugado es    (3+x)

5.-    (x-6)    su conjugado es    (6+x)

6.-    (3z^{3}+8z)  su conjugado es (3z^{3}-8z)

7.-    \left (\frac{1}{3}x-4 \right )    su conjugado es \left (4+\frac{1}{3}x \right )

De multiplicar un binomio por su conjugado se genera el producto notable conocido como producto de binomios conjugados.

Producto de binomios conjugados

El producto de la suma de dos términos por su diferencia, es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

Formula del producto de binomios conjugados

La formula a utilizar en este tipo de producto notable es la siguiente:

(x+a)(x-a)= x^{2}-a^{2}

Reglas de cómo resolver el producto de binomios conjugados

Para resolver el producto de dos binomios conjugados debemos tener presente lo siguiente:

  1. Deben ser binomios
  2. Los binomios deben poseer: un término con signos iguales y otro término con signos diferentes, sin importar el orden en que se encuentren.
  3. Multiplicamos los términos por propiedad distributiva (si se desea); ya que se puede hacer directo por la fórmula.
  4. La solución será el cuadrado del término que tiene signos iguales, menos el cuadrado del término que posee signos diferentes.
  5. De allí se efectúan las operaciones de multiplicación, potenciación y simplificación que estén presentes en la solución.

Qué se obtiene de resolver un producto de binomios conjugados

Al resolver un producto de binomios conjugados obtenemos como resultado una diferencia de cuadrados.

Ejercicios del producto de binomios conjugados, 10 ejemplos resueltos

1.-    (x-5)(x+5)= x^{2}-5^{2}=x^{2}-25  se realizó el producto de binomios conjugados y se resolvieron las potencias.

2.-    (x^{3}+4x^{2})(x^{3}-4x^{2})=\left (x^{3} \right )^{2}-\left (4x^{2} \right )^{2}=x^{6}-16x^{4}   se realizó el producto de binomios conjugados y se resolvieron las potencias.

3.-    \left ( \frac{3}{5} z^{10}-2z^{5}\right )\left ( \frac{3}{5}z^{10}+2z^{5} \right )=\left ( \frac{3}{5}z^{10} \right )^{2}-\left ( 2z^{5} \right )^{2}=\frac{9}{25}z^{20}-4z^{10}   se realizó el producto de binomios conjugados y se resolvieron las potencias de los números enteros, de las variables y de las fracciones.

4.-    (x^{2m}+3)(3-x^{2m})=3^{2}-\left (x^{2m} \right )^{2}=9-x^{4m}   se realizó el producto de binomios conjugados y se resolvieron las potencias.

5.-    \left ( \frac{7}{49}x+\frac{3}{9} \right )\left ( \frac{7}{49}x -\frac{3}{9}\right )=\left (\frac{7}{49}x \right )^{2}-\left (\frac{3}{9} \right )^{2}=\frac{49}{2401}x^{2}-\frac{9}{81}=\frac{1}{49}x^{2}-\frac{1}{9}    se realizó el producto de binomios conjugados, se resolvieron las potencias de las variables y de las fracciones y luego se simplificaron los resultados.

6.-     (x^{2}+6^{2})(x^{2}-6^{2})=(x^{2})^{2}-(6^{2})^{2}=x^{4}-6^{4}=x^{4}-1296   se realizó el producto de binomios conjugados y se resolvieron las potencias.

7.-    \left ( \frac{1}{3}x^{2} +\frac{1}{4}x\right )\left ( \frac{1}{3}x^{2} -\frac{1}{4}x\right )=\left ( \frac{1}{3}x^{2} \right )^{2}-\left ( \frac{1}{4}x \right )^{2}=\frac{1}{9}x^{4}-\frac{1}{16}x^{2}   se realizó el producto de binomios conjugados y se resolvieron las potencias de las variables y de las fracciones.

8.-    \left ( \sqrt{x} \right -\sqrt{10})\left ( \sqrt{x} \right +\sqrt{10})=\left (\sqrt{x} \right )^{2}-\left ( \sqrt{10} \right )^{2}=x-10    se realizó el producto de binomios conjugados y se resolvieron las potencias ( en una raíz elevada al cuadrado, se simplifica la raíz con el cuadrado de la potencia y nos queda solo el factor que esta dentro de la raíz.

9.-    \left ( x+\sqrt{4} \right )\left ( x-\sqrt{4} \right )=x^{2}-\left ( \sqrt{4} \right )^{2}=x^{2}-4    se realizó el producto de binomios conjugados y se resolvieron las potencias; en el segundo término se simplificó la raíz con el cuadrado de la potencia y nos quedo solo el factor que estaba dentro de la raíz.

10.-  \left ( 5x+\frac{2}{5} \right )\left (\frac{2}{5}-5x \right )=\left (\frac{2}{5} \right )^{2}-\left (5x \right )^{2}=\frac{4}{25}-25x^{2}    se realizó el producto de binomios conjugados y se resolvieron las potencias de los números enteros, de las variables y de las fracciones.

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