Dentro de los límites indeterminados nos encontramos con la forma 0.\infty. Hoy estudiaremos como podemos resolver este tipo de límites.

Límite indeterminado cero por infinito 0.\infty.

Este tipo de indeterminaciones se origina por el producto de dos funciones polinomicas, se pueden eliminar la indeterminación aplicando los métodos de factorización, otra forma es si al evaluar el límite cuando X tiende al infinito y da como resultado 0.\infty, a partir de la aplicación de operaciones básicas se convierte el limite original en otra indeterminación como \frac{\infty }{\infty } , de esta forma se procede con la metodología de eliminación para este caso.

Resolución de ejercicios de límite indeterminado cero por infinito 0.\infty.

Para la mejor comprensión de limites indeterminado de la forma 0.\infty  a continuación desarrollaremos varios ejercicios:

a.-\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{4}{5X^{2}+2})(2-5X^{2})

si evaluamos el límite

=(\frac{4}{5\infty ^{2}+2})(2-5\infty ^{2}) recordemos que un numero entre infinito el resultado es cero y que el producto de un numero por infinito es infinito.

=(\frac{4}{\infty })(2-\infty )

=0.\infty  evidenciando la indeterminación, multiplicamos las funciones

\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{4}{5X^{2}+2})(2-5X^{2})=\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{4(2-5X^{2})}{5X^{2}+2}) si evaluamos nuevamente observaremos que convertimos el limite en una indeterminación del tipo \frac{\infty }{\infty }

\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{4(2-5\infty ^{2})}{5\infty ^{2}+2})=\frac{\infty }{\infty }    aplicamos la metodología para este tipo de indeterminaciones

=\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{\frac{4(2-5X^{2})}{X^{2}}}{\frac{5X^{2}+2}{X^{2}}})  resolvemos las operaciones básicas y simplificamos

=\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{\frac{4(2-5X^{2})}{X^{2}}}{\frac{5X^{2}+2}{X^{2}}})

=\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{(\frac{8}{X^{2}}-20)}{5+\frac{2}{X^{2}}}) evaluamos el límite nuevamente

=(\frac{(\frac{8}{\infty ^{2}}-20)}{5+\frac{2}{\infty ^{2}}})

=(\frac{0-20}{5+0})

=(\frac{-20}{5})

=-4

 

b.- {\lim_{x\rightarrow 2}((x^{2}-4)(\frac{5}{x-2}))

se evalúa primeramente el límite para evidenciar la indeterminación

=((2^{2}-4)(\frac{5}{2-2}))

=0.\infty   en esta oportunidad para eliminar la indeterminación aplicaremos el producto de la suma por la diferencia en la función X^{2}-4

= {\lim_{x\rightarrow 2}(((x-2)(x+2))(\frac{5}{x-2}))  se elimina los términos comunes (x-2)

= {\lim_{x\rightarrow 2}5(x+2) evaluamos nuevamente

= 5(2+2)

= 20