Ecuaciones diferenciales exactas y reducibles a exactas

La ecuación diferencial que trataremos a continuación nos permitirá repasar y tocar nuevos temas. Uno de estos puntos es la integral parcial (aunque asumimos que es tema superado para muchos de nuestros lectores, nos tomaremos unas líneas de esta publicación para repasarlo). Así mismo, la ecuación diferencial reducible a exacta nos sugiere el uso de una expresión matemática llamada Factor Integrante. Todo esto lo veremos en esta sección de las ecuaciones diferenciales exactas y reducibles a exactas.

Definición de la ecuación diferencial exacta

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden exactas cumplen la siguiente expresión diferencial: P(x,y)dx+Q(x,y)dy$

Se considera una diferencial exacta en la región R del plano xy si y solo si corresponde a la diferencial total de alguna función F(x,y), en otras palabras,

$dF(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$

Proposición: Sean $P(x,y)$ y $Q(x,y)$ funciones continuas y diferenciables en una región R del plano xy.

La expresión P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 es la diferencial exacta de una función F(x,y) (esto significa que $P(x,y)=\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}$ y $Q(x,y)=\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}$ ) si y sólo si $\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}$ .

En otras palabras, si las derivadas parciales de segundo orden cruzadas son iguales: $\frac{\partial^{2} F(x,y)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2} F(x,y)}{\partial y\partial x}$

Ecuación diferencial ordinaria de primer orden exacta

Una ecuación diferencial de la forma P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden exacta si y solo si la expresión P(x,y)dx+Q(x,y)dy es una diferencial exacta, es decir, si existe una función F(x,y) tal que la diferencial total de dicha función es:

$dF(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$

En resumen,

Si es posible determinar una función F(x,y) tal que:

$\frac{\partial F}{\partial x}=P(x,y)$ y $\frac{\partial F}{\partial y}=Q(x,y)$

En ese sentido, la ecuación P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 puede escribirse como

$\frac{\partial F}{\partial x}dx + \frac{\partial F}{\partial y}dy=0$

O bien: dF=0

Por lo tanto F=c es la solución general de la ecuación P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 cuando es exacta.

Integral parcial

Justo ahora que ya sabemos cómo comprobar si una ecuación diferencial es exacta ya solo nos queda dar con los pasos a seguir para encontrar la solución a dicha ecuación diferencial. Por lo que vemos pertinente hablar de la integral parcial de una función, que nos servirá de mucho para resolver la ecuación en cuestión.

La integral parcial de una función H(x,y) la podemos encontrar de dos formas distintas, respecto de x y respecto de y de donde al tomar cualquiera de las dos variables tomaría a la otra como constante. Veamos.

Integral parcial de una función H(x,y) respecto de x

Se escribe $\int^{x} H(x,y)\partial x$ , y viene dada por la igualdad $\int_{y=ctte}^{x} H(x,y)dx + h(y)$ .

En este punto resulta conveniente decir que nos estamos tratando a una integral definida sino que los valores expuestos en los extremos del símbolo integral nos ilustran que variables son tomadas como constante (el valor inferior) y que variable es sobre la que estamos integrando.

En este particular, nuestra constante es y y estamos integrando respecto a x.

Integral parcial de una función H(x,y) respecto de y

Se escribe $\int^{y} H(x,y)\partial y$ , y viene dada por la igualdad $\int_{x=ctte}^{y} H(x,y)dx + h(x)$ .

Para este caso, nuestra constante es x y estamos integrando respecto a y.

Ya, en este punto contamos con todo lo necesario para encontrar la solución a una ecuación diferencial exacta, de modo que ya lo único que nos queda será trazar la ruta o describir los pasos a seguir para hallar la solución de la ecuación diferencial ordinaria exacta.

¿Cómo resolver una ecuación diferencial ordinaria exacta de primer orden?

A continuación se describe cómo encontrar la solución general una ecuación diferencial paso a paso.

Para una ecuación diferencial ordinaria de primer orden exacta que cumple con la forma

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

Los pasos a seguir para hallar su solución general son los siguientes
Verificar que cumple con la proposición, es decir
$\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}$

Aplique la definición de la ecuación diferencial exacta, es decir, suponga que existe una función $F(x,y)$ tal que
$\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=P(x,,y)$ ; $\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=Q(x,y)$

Integrar parcialmente respecto a una de las variables, evidentemente se aconseja que se tome la variable más conveniente y luego se sume la otra como constante. En otras palabras, si se integra respecto a “x” $\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=P(x,y)$ se suma la función h(y) como constante de integración o si se integra respecto a “y” $\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=Q(x,y)$ se suma la función g(x) como constante de integración.

Derivar parcialmente la función obtenida en el paso 3 respecto a la variable que se tomó como constante. Es decir, que si se integra respecto de “x” se deriva la función resultante respecto de “y” y si se integra respecto de “y” se deriva la función resultante respecto de “x” respectivamente.

Igualamos la derivada parcial resultante en el paso anterior con la función Q(x,y) si hemos integrado respecto a “x” o igualamos la derivada parcial con la función P(x,y) si hemos integrado respecto a “y”
$\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left ( \int^{x}P(x,y)dx \right )+\frac{dh(y)}{dy}=Q(x,y)$ si hemos derivado respecto a “y” la expresión anterior en la forma en como hemos de igual la derivada pero si derivamos respecto a “x” entonces debemos igualar la expresión a P(x,y) de la siguiente forma: $\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left ( \int^{y}Q(x,y)dy \right )+\frac{dg(x)}{dx}=P(x,y)$

Despejamos a $\frac{dh(y)}{dy}=H(y)$ de donde H(y) es una función que solo depende de la variable “y”, en caso de haber derivado parcialmente en función “y”, despejamos $\frac{dg(x)}{dx}=G(x)$ de donde podemos notar que G(x) es una función que solo depende de “x”.

Integre respecto de “y” la relación obtenida en el paso anterior a fin de conseguir la función “h(y)”
$h(y)=\int H(y)dy+C$ ($C$ es la constante de integración), en caso de haber integrado respecto de “x” para obtener la función g(x)
$g(x)=\int G(x)dx+C$

Sustituya h(y) en la función obtenida en el paso 3
$F(x,y)=\int_{y=ctte}^{x}P(x,y)dx+\int H(y)dy+C$ para g(x)
$F(x,y)=\int_{x=ctte}^{y}Q(x,y)dy+\int G(x)dy+C$

La solución genral de la ecuación diferencial exacta P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 es el resultado de:
$F(x,y)=\int_{y=ctte}^{x}P(x,y)dx+\int H(y)dy+C=0$ 0

$F(x,y)=\int_{x=ctte}^{y}Q(x,y)dy+\int G(x)dy+C=0$

Ejercicios de ecuaciones diferenciales exactas

Sea la ecuación $(y-x^{-2}y^{3})dx+(x+3x^{-1}y^{2})dy=0$ verifique que sea exacta y obtenga la solución general.

Solución

Para ello, aplicaremos cada uno de los pasos que ya hemos mencionado anteriormente.

Paso 1, verificamos que la ecuación sea exacta.

En ese sentido, derivamos parcialmente la función P(x,y) respecto de “y” y luego la función Q(x,y) respecto de “x” e igualamos ambas. Si estas resultan iguales entonces la ecuación es exacta.

Derivando parcialmente a P(x,y) respecto a “y” tenemos: $\frac{\partial P}{\partial y}=1-3x^{-2}y^{2}$

Y derivando parcialmente a Q(x,y) respecto a “x” nos queda: $\frac{\partial Q}{\partial x}=1-3x^{-2}y^{2}$

Igualando notamos que $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

Son iguales por lo tanto estamos en presencia de una ecuación exacta.

Seguimos con el paso siguiente.

Paso 2, Asumimos que existe una función F(x,y) a la cual podamos integrar parcialmente. Podemos elegir entre:

$\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=P(x,y)$ o $\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=Q(x,y)$

Pase 3, integramos parcialmente respecto a la variable de la función elegida.

En nuestro caso, hemos elegido $(y-x^{-2}y^{3})dx$ con lo cual debemos integrar parcialmente respecto a “x”.

$f=\int ^{x}(y-x^{-2}y^{3})dx+h(y)$ donde su resultado es: $f=xy+x^{-1}y^{3}+h(y)$

Paso 4, derivamos parcialmente la función resultante de integral parcial; en otras palabras, derivamos parcialmente respecto de “y” a $f=xy+x^{-1}y^{3}+h(y)$ de la siguiente forma:

$\frac{\partial f}{\partial y}\Rightarrow \frac{\partial (xy+x^{-1}y^{3}+h(y))}{\partial y}=x+3x^{-1}y^{2}+{h}'(y)$

Paso 5, igualamos la derivada obtenida en el paso anterior con la función que hemos descartado al inicio, en nuestro caso la función $Q(x,y)=x+3x^{-1}y^{2}$

$x+3x^{-1}y^{2}+{h}'(y)=x+3x^{-1}y^{2}$

Paso 6, despejamos a ${h}'(y)$ , que al hacerlo nos queda que ${h}'(y)=0$

Paso 7, integramos a ${h}'(y)$ respecto a “y” con el fin de encontrar la función h(y)

$h(y)=\int {h}'(y)dy\Rightarrow \int 0dy=A$ Cuando hicimos el despeje de ${h}'(y)$ encontramos que era igual a “0” por lo tanto al integrar ese valor nos arroja una constante. Asumimos que ya en este nivel todos deben saber que la integral de “0” es igual a una constante.

Paso 8, sustituimos el resultado de h(y)=A en la función obtenida en el paso 3.

$f=xy+x^{-1}y^{3}+h(y)\Rightarrow xy+x^{-1}y^{3}+A=B$

Paso 9, expresar la solución general de la ecuación diferencial exacta.

Solución general: $xy+x^{-1}y^{3}=C$ ; con C=B-A

Nota

Se debe llegar al mismo resultado si en vez de tomar a P(x,y)$ tomamos a Q(x,y) como función para integrar parcialmente.