Los polinomios (monomios, binomios, trinomios) se pueden factorizar por diversos métodos; uno de éstos métodos es la factorización de un trinomio cuadrado perfecto. En el siguiente post estudiaremos loas diversas definiciones acerca del cuadrado perfecto, sus características y como se lleva a cabo éste tipo de factorización.

Antes de iniciar el estudio de éste tipo de factorización, es necesario conocer otras definiciones como lo son: cuadrado perfecto, trinomio cuadrado perfecto.

Qué es un cuadrado perfecto

Para que un término o una expresión algebraica; forme un cuadrado perfecto debe de tener raíz exacta. Los números enteros elevados al cuadrado nos producen cuadrados perfectos.

Ejemplos de cuadrados perfectos

1.-    \small 4 es un cuadrado perfecto porque  \small 2^{2}=4

2.-    \small 9x^{4} es un cuadrado perfecto porque \small (3x^{2})^{2}=9x^{4}

3.-    \small 25x^{6} es un cuadrado perfecto porque \small (5^{3})^{2}=25x^{6}

Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio es cuadrado perfecto si dos de sus términos son cuadrados perfectos (tienen raíz exacta); y el término restante es igual al doble producto de esos dos términos; es decir    \small x^{2}+2(a)(x)+b^{2}      ó      \small x^{2}-2(a)(x)+b^{2}.

Un trinomio es cuadrado perfecto, cuando es igual al cuadrado de una suma o resta de dos términos; es decir se puede escribir de la forma: \small (x+a)^{2}     ó    \small (x-a)^{2}.

Características y reglas de un trinomio cuadrado perfecto

Para que un trinomio sea cuadrado perfecto, según la definición, debe cumplir con las siguientes características o reglas:

  1. Lo podemos ordenar en orden decreciente ( según las potencias de las variables).
  2. El trinomio debe tener dos términos cuadrados perfectos.
  3. El segundo término del trinomio está representado por el doble del producto de las raíces de los otros dos términos.
  4. El primer y el último término del trinomio deberán tener el mismo signo.

Ejemplos de trinomio cuadrado perfecto

1.-    \small 25^{4}+30x^{2}+9

2.-    \small 16z^{2}-56z+49

3.-    \small \frac{1}{25}x^{50}+\frac{1}{10}x^{25}+\frac{1}{16}

4.-    \small x^{2}+10x+25

5.-    \small y^{2}+8y+16

Ahora bien, conocido todo ésto podemos hablar de la factorización de un trinomio cuadrado perfecto:

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

La factorización de un trinomio cuadrado perfecto, va a ser igual  a un binomio, donde sus términos van a ser los dos cuadrados del trinomio, y donde éstos estarán formando una operación de suma o resta.

Formula de la factorización de un trinomio cuadrado perfecto

La formula o forma de la factorización de un trinomio cuadrado perfecto es:

\small x^{2}+2(a)(x)+b^{2}=(x+a)^{2}

\small x^{2}-2(a)(x)+b^{2}=(x-a)^{2}

Cómo resolver o factorizar un trinomio cuadrado perfecto

Para resolver o factorizar un trinomio cuadrado perfecto; debemos hacerlo de la siguiente forma:

  1. Calculamos la raíz del primer término que ésta elevado al cuadrado en el trinomio ; y ese va a ser el primer término de nuestro binomio solución. Para obtener la raíz dividimos el término entre dos(2).
  2. Calculamos la raíz del segundo término que ésta elevado al cuadrado en el trinomio; y ese va a ser el segundo término de nuestro binomio solución y lo escribiremos después del signo.
  3. Colocamos ambos términos encontrados dentro de un paréntesis. Los término del binomio solución estarán separados por el mismo signo que tiene el segundo término del trinomio.
  4. Elevamos todo lo obtenido al cuadrado (potencia con exponente 2).

Obtener la raíz cuadrada del tercer término (rojo), escríbelo después del signo y cerrar el paréntesis.

Ejercicios de factorización de un trinomio cuadrado perfecto, ejemplos resueltos

1.-    \small 16x^{2}+40x+25=

Solución: 

Investigamos si es un trinomio cuadrado perfecto

La raíz de  \small 16x^{2}=4x

La raíz de    \small 25=5

El doble del producto de las raíces encontradas es    \small 2(4x)(5)=40x   como si es trinomio cuadrado perfecto entonces la factorización es:

\small 16x^{2}+40x+25=(4x+5)^{2}    entre los términos se coloca el signo del segundo término del trinomio dado.

2.-    \small 49x^{2}-14x+1=

Solución: 

Investigamos si es un trinomio cuadrado perfecto

La raíz de    \small 49x^{2}=7x

La raíz de    \small 1=1

El doble del producto de las raíces encontradas es  \small 2(7x)(1)=49x   como si es trinomio cuadrado perfecto entonces la factorización es:

\small 49x^{2}-14x+1=(7x-1)^{2}    entre los términos se coloca el signo del segundo término del trinomio dado.

3.-    \small 9m^{2}+12m+4=

Solución: 

Investigamos si es un trinomio cuadrado perfecto

La raíz de   \small 9m^{2}=3m

La raíz de    \small 4=2

El doble del producto de las raíces encontradas es  \small 2(3m)(2)=12m   como si es trinomio cuadrado perfecto entonces la factorización es:

\small 9m^{2}+12m+4=(3m+2)^{2}   entre los términos se coloca el signo del segundo término del trinomio dado.

4.-    \small 49x^{4}-70x^{2}+25

Solución: 

Investigamos si es un trinomio cuadrado perfecto

La raíz de   \small 49x^{4}=7x^{2}

La raíz de   \small 25=5

El doble del producto de las raíces encontradas es \small 2(7x^{2})(5)=70x^{2}   como si es trinomio cuadrado perfecto entonces la factorización es:

\small 49x^{4}-70x^{2}+25=(7x^{2}-5)^{2}  entre los términos se coloca el signo del segundo término del trinomio dado.

5.-    \small x^{2}+6x+9=

Solución: 

Investigamos si es un trinomio cuadrado perfecto

La raíz de    \small x^{2}=x

La raíz de    \small 9=3

El doble del producto de las raíces encontradas es  \small 2(x)(3)=6x   como si es trinomio cuadrado perfecto entonces la factorización es:

\small x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}   entre los términos se coloca el signo del segundo término del trinomio dado.

6.-  \small x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=

Solución: 

Investigamos si es un trinomio cuadrado perfecto

La raíz de    \small x^{2}=x

La raíz de    \small \frac{16}{9}=\frac{4}{3}

El doble del producto de las raíces encontradas es  \small 2(x)\left (\frac{4}{3}\right )=\frac{8}{3}x   como si es trinomio cuadrado perfecto entonces la factorización es:

\small x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\left ( x+\frac{4}{3} \right )^{2}  entre los términos se coloca el signo del segundo término del trinomio dado.

7.-    \small x^{2}-10x+25=

Solución: 

Investigamos si es un trinomio cuadrado perfecto

La raíz de    \small x^{2}=x

La raíz de    \small 25=5

El doble del producto de las raíces encontradas es  \small 2(x)(5)=10x   como si es trinomio cuadrado perfecto entonces la factorización es:

\small x^{2}-10x+25=(x-5)^{2} entre los términos se coloca el signo del segundo término del trinomio dado.

8.-    \small 25x^{6}+10x^{5}+x^{4}=

Solución: 

Investigamos si es un trinomio cuadrado perfecto

La raíz de  \small 25x^{6}=5x^{3}

La raíz de  \small x^{4}=x^{2}

El doble del producto de las raíces encontradas es  \small 2(5x^{3})(x^{2})=10x^{5}   como si es trinomio cuadrado perfecto entonces la factorización es:

\small 25x^{6}+10x^{5}+x^{4}=(5x^{3}+x^{2})^{2}

9.-    \small -x^{2}+6x-9=

Debemos convertir los dos cuadrados al positivo, para eso sacamos factor común igual a (-1) y nos queda:

\small -(x^{2}-6x+9)=

Solución: 

Investigamos si es un trinomio cuadrado perfecto

La raíz de \small x^{2}=x

La raíz de \small 9=3

El doble del producto de las raíces encontradas es  \small 2(x)(3)=6x   como si es trinomio cuadrado perfecto entonces la factorización es:

\small -(x^{2}-6x-9)=-(x-3)^{2}

10.-    \small 81x^{10}-6x^{6}+\frac{1}{9}x^{2}=

Solución: 

Investigamos si es un trinomio cuadrado perfecto

La raíz de   \small 81x^{10}=9x^{5}

La raíz de     \small \frac{1}{9}x^{2}=\frac{1}{3}x

El doble del producto de las raíces encontradas es  \small 2(9x^{5})\left (\frac{1}{3} x \right )=6x^{6}   como si es trinomio cuadrado perfecto entonces la factorización es:

\small 81x^{10}-6x^{6}+\frac{1}{9}x^{2}=\left (9x^{5}-\frac{1}{3}x \right )^{2}

Cómo se puede verificar si la factorización es correcta

Para hacer la verificación de cualquier factorización lo que se debe hacer es la multiplicación y el resultado de la multiplicación deberá ser el polinomio original.

Lo podemos hacer de dos manera:

  1. Aplicando la formula del cuadrado de un binomio.
  2. Multiplicando el binomio obtenido por si mismo dos veces.

Trinomio cuadrado imperfecto

Es aquel trinomio que no sigue las reglas y característica de un trinomio cuadrado perfecto

Forma de un trinomio cuadrado imperfecto

Un trinomio cuadrado imperfecto tiene la forma:

  \small x^{2}+bx+c

Ejemplos de trinomio cuadrado imperfecto

1.-    \small x^{2}+7x+12

2.-  \small x^{2}-9x+20

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