La factorización de polinomios tiene como objetivo convertir el polinomio en un producto de polinomios que tienen un grado menor que el grado del polinomio dado; uno de los tipos de factorización es el método de ruffini. En el siguiente post estudiaremos las características de éste método y su aplicación.

La regla de ruffini es una aportación de Paolo Ruffini (1765 – 1822); quien fue un profesor de matemáticas, un médico y además filósofo. Esta aportación la hizo en 1809, y es una regla que nos permite encontrar las raíces de un polinomio de una manera mas sencilla.

Regla de ruffini

Éste es un método muy práctico, eficaz y sencillo, que nos permite con su aplicación, encontrar las diferentes raíces de cualquier polinomio. Es ideal para aquellos polinomios que tienen un grado mayor que dos (2).

Este método consiste en seleccionar una posible raíz del polinomio dado y formar una tabla; en el momento en que el último resultado de la tabla sea cero (0) habremos culminado; si no ocurre ésto, entonces debemos intentarlo con otra posible raíz.

Cuando hablamos de la raíz del polinomio nos referimos a un divisor del término independiente del polinomio (el término independiente es aquel que no tiene variable).

Aplicación del método de ruffini

Aplicar éste método es descomponer un polinomio de grado (n) y convertirlo en un binomio y otro polinomio de grado (n-1); para que ésto pueda ocurrir se necesita conocer al menos una de las raíces del polinomio dado.

Para aplicar este método es necesario que el polinomio dado tenga término independiente; si no lo tiene debemos sacar factor común tantas veces como sea necesario hasta dejar un polinomio con término independiente.

En la aplicación el proceso es el siguiente: se multiplica la primera raíz por el primer coeficiente que es el que bajamos; el resultado de la multiplicación se va a sumar o restar con el siguiente coeficiente; posteriormente el resultado de esta operación (suma o resta) se va a multiplicar con la raíz y el resultado de la multiplicación se le suma o resta al siguiente coeficiente; el resultado de esta operación (suma o resta) se multiplica con la raíz y el resultado de la multiplicación se le suma o resta al siguiente coeficiente, todo esto se repite hasta llegar al último coeficiente y en ese coeficiente debemos obtener un resto igual a cero; si esto no sucede la raíz no es correcta; entonces hay que probar con otro divisor.

Cómo hacer una factorización aplicando la regla de ruffini

Para realizar éste tipo de factorización debemos seguir los siguientes pasos:

  1. Ordenar el polinomio en orden decreciente, en caso de que falte algún término dejamos el espacio o colocamos cero ya que el polinomio debe estar completo.
  2. Fijaros que el polinomio tenga término independiente; si no lo tiene sacar factor común hasta conseguir el término independiente.
  3. Buscar todos los divisores del término independiente.
  4. Formar una tabla y colocar los coeficientes del polinomio.
  5. Colocar el primer divisor o raíz que se quiera usar en la esquina inferior izquierda, y bajar el primer coeficiente tal cual esté. Para la selección del divisor debemos tener presente que los número que vamos obteniendo o bajando los vamos a multiplicar por el divisor y luego el resultado de la multiplicación lo vamos a sumar o restar con los coeficientes que tenemos; el divisor que se escoja debe ser un número que haga que al final nos de resto cero. Nota: Una manera de saber si un número es raíz; es sustituyendo en el polinomio ese número como el valor de la variable (x),  y si da cero (0) es raíz, si no da cero no lo es y se pasa al siguiente divisor.
  6. Luego de obtener la primera raíz, el proceso se repite con los nuevos coeficiente obtenidos hasta que nos quede un solo coeficiente o hasta que no exista ninguna raíz que haga que nos de resto cero (0).

Ejercicios de factorización por método de ruffini, 6 ejemplos resueltos

1.-     \small 3x^{2}+9x+6=

Solución:

El polinomio está ordenado,completo y tiene término independiente.

Los divisores del termino independiente \small D(6)= \pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6

Bajamos los coeficientes y formamos la tabla:

Factorización por ruffini divisor resto no igual a cero

Se probó con el (+1) y  dio resto igual a (18) porque \small (1*3=3) (3+9= 12) (1*12=12) (12 +6=18); por lo tanto ese divisor no sirve.

Otra manera mas fácil de saber; es probar sustituyendo el valor del divisor en la variable del polinomio dado: \small 3x^{2}+9x+6= 3(1^{2})+9(1)+6=3+9+6=18   se observa que dio 18 entonces no es raíz.

Probamos con el (-1)

Factorización por ruffini resto igual a cero

Encontramos la primera raíz que es (-1).

Continuamos con la solución para encontrar la siguiente probamos con los divisores del último coeficiente; en este caso sigue siendo 6; es decir los mismo divisores.

factorización por ruffini

Encontramos la segunda raíz que es (-2).

Como nos queda un solo coeficiente; entonces hemos terminado de factorizar y el polinomio factorizado nos queda:

\small {\color{Blue} 3x^{2}+9x+6=3(x+1)(x+2)}

Como se puede observar el polinomio dado, se transformo en un producto de polinomios con menor grado; ademas que se le cambia el signo a las raíces y el coeficiente que nos quedo (+3) se coloca en la factorización multiplicando a los los factores.

2.-    \small x^{4}-9x^{2}+4x+12=

Solución:

Ordeno y completo el polinomio \small x^{4}+0x^{3}-9x^{2}+4x+12=

El polinomio tiene término independiente, saco los divisores: \small D(12)=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 12

Bajamos los coeficientes, formamos la tabla y empezamos a buscar las raíces que den resto cero (0):

Se probó con el (+1) y no dio resto cero; entonces se tomo tomo (-1)

Factorización por ruffini ejercicio 2

Como se puede observar luego se tomo el (+2) también como divisor de (12) y posteriormente se buscaron ademas los divisores de:  \small D(6)=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6  y se tomo (+2), los \small D(3)=\pm 1,\pm 3   y se tomo (-3).

El polinomio factorizado nos queda:

\small {\color{Blue} x^{4}-9x^{2}+4x+12= (x+1)(x-2)(x-2)(x+3)}

3.-    \small x^{3}+2x^{2}-x-2=

Solución:

Polinomio ordenado y completo

El polinomio tiene término independiente, saco los divisores \small D(2)=\pm 1,\pm 2

Bajamos los coeficientes, formamos la tabla y empezamos a buscar las raíces que den resto cero (0):

Probamos con el (+1)

factorización por ruffini ejercicio 3

Como se puede observar luego se tomo (-2 ) también como divisor de (2) y se buscaron ademas los divisores de  \small D(1)=\pm 1   y se tomo (-1).

El polinomio factorizado nos queda:

\small {\color{Blue} x^{3}+2x^{2}-x-2=(x-1)(x+2)(x+1)}

4.-     \small x^{3}-3x-2=

Solución:

Ordeno y completo el polinomio   \small x^{3}+0x^{2}-3x-2=

El polinomio tiene término independiente, saco los divisores \small D(2)=\pm 1,\pm 2

Bajamos los coeficientes, formamos la tabla y empezamos a buscar las raíces que den resto cero (0):

Probamos con el (+1  y  -1)  y no dio resto igual a cero (0)

Probamos con el (+2)

factorización por ruffini ejercicio 5

Como se puede observar se buscaron los divisores  \small D(1)=\pm 1 y se tomo (-1 ), luego (+1).

El polinomio factorizado nos queda:

\small {\color{Blue} x^{3}-3x-2=(x-2)(x+1)(x+1)=(x+1)^{2}(x-2)}

5.-    \small x^{3}-5x^{2}-9x+45=

Polinomio ordenado y completo

El polinomio tiene término independiente, saco los divisores  \small D(45)= \pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 9, \pm 15,\pm 45

Bajamos los coeficientes, formamos la tabla y empezamos a buscar las raíces que den resto cero(0):

Probamos con el (+5)

factorización por ruffini ejercicio 6

Como se puede observar se buscaron los divisores  \small D(9)=\pm 1,\pm 3,\pm 9 y se tomo (+3 ), luego se buscaron los divisores  \small D(3)=\pm 1,\pm 3 y se tomo (-3).

El polinomio factorizado nos queda:

\small {\color{Blue} x^{3}-5x^{2}-9x+45=(x-3)(x+3)(x-5)}

6.-    \small 2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6=

Solución:

Polinomio ordenado y completo

El polinomio tiene término independiente, saco los divisores \small D(6)= \pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6

Bajamos los coeficientes, formamos la tabla y empezamos a buscar las raíces que den resto cero (0):

Probamos con el (+1)

factorización por ruffini ejercicio 4

Como se puede observar luego se tomo (-1 ) como divisor de (6) y luego (-2) también como divisor de (6) y se buscaron ademas los divisores de  \small D(3)=\pm 1,\pm 3 y  se comprobó que ninguno nos da resto igual a cero por eso se termina la factorización de la siguiente manera:

\small 2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6=(x-1)(x+1)(x+2)(2x-3)

Sacamos factor común en el ultimo factor y nos queda:

\small {\color{Blue} 2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6=2(x-1)(x+1)(x+2)\left (x-\frac{3}{2} \right )}

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