El binomio al cuadrado es también conocido como el cuadrado de un binomio; y es uno de los productos notable mas usados. A continuación; en el post haremos un estudio las diferentes definiciones acerca de éste tipo de producto notable, las diferentes características que éste puede tener, y cuales deberán ser los pasos necesarios al momento de resolver una operación donde se deba aplicar el cuadrado de un binomio.

Cuadrado de un binomio

El cuadrado de un binomio o binomio al cuadrado; se conoce como una expresión algebraica, que está formada por dos términos que se pueden sumar o restar; y donde la suma o resta está elevada al cuadrado.

La ejecución de cualquier producto notable del cuadrado de un binomio, se conoce como el desarrollo de un trinomio cuadrado perfecto.

Cómo resolver un binomio al cuadrado

Para resolver cualquier binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio; tenemos que primeramente observar si la operación a realizar es suma o resta; y luego de ubicar que tipo de operación se debe realizar seleccionamos la formula indicada para esa operación; y procedemos a resolver cumpliendo con las reglas que plantea la formula.

Reglas y formulas del binomio al cuadrado

Para elevar un binomio al cuadrado, que es lo mismo que multiplicarlo por si mismo, nos encontramos con dos opciones o dos formas; y cada opción tiene sus reglas particulares y su formula:

  1. Suma de un binomio al cuadrado
  2. Resta de un binomio al cuadrado

Suma de un binomio al cuadrado

El cuadrado de la suma de un binomio, es igual al cuadrado del primer término, mas el doble del producto del primer término por el segundo término, mas el segundo término al cuadrado.

Formula de la suma de un binomio al cuadrado

La formula utilizada en el cuadrado de la suma de un binomio es:

(x+a)^{2}=x^{2}+2xa+a^{2}

Resta de un binomio al cuadrado

El cuadrado de la diferencia de un binomio, es igual al cuadrado del primer término, menos el doble del producto del primer término por el segundo término, mas el segundo término al cuadrado.

Formula de la resta de un binomio al cuadrado

La formula utilizada en el cuadrado de una resta de un binomio es:

(x-a)^{2}=x^{2}-2xa+a^{2}

Ejercicios de binomio al cuadrado, 10 ejemplos resueltos

1.-    (x+5)^{2}= x^{2}+2(x)(5)+2^{2}=x^{2}+10x+25 se llevo a cabo la suma del binomio al cuadrado  y se resolvieron las multiplicaciones y potencias pendientes.

2.-  \left (x^{2}+1 \right )^{2}=\left (x^{2} \right )^{2}+2(x^{2})(1)+1^{2}=x^{4}+2x^{2}+1se llevo a cabo la suma del binomio al cuadrado  y se resolvieron las multiplicaciones y potencias pendientes.

3.-    \left ( \frac{1}{2}z^{2} +z^{3}\right )^{2}=\left (\frac{1}{2}z^{2} \right )^{2}+2\left (\frac{1}{2}z^{2} \right )\left ( z^{3} \right )+\left ( z^{3} \right )^{2}=\frac{1}{4}z^{4}+z^{5}+z^{6} se llevo a cabo la suma del binomio al cuadrado  y se resolvieron las multiplicaciones de fracciones y potencias pendientes.

4.-    \left ( x-4 \right )^{2}=x^{2}-2(x)(4)+4^{2}=x^{2}-8x+16 se llevo a cabo la resta del binomio al cuadrado  y se resolvieron las multiplicaciones y potencias pendientes.

5.-    (3m-8)^{2}=(3m)^{2}-2(3m)(8)+8^{2}=9m^{2}-48m+64

6.-    \left ( \frac{1}{5}z -10z^{3}\right )^{2}=\left (\frac{1}{5}z \right )^{2}-2\left (\frac{1}{5}z \right )\left ( 10z^{3} \right )+\left ( 10z^{3} \right )^{2}=\frac{1}{25}z^{2}-4z^{4}+10z^{6} se llevo a cabo la resta del binomio al cuadrado  y se resolvieron las multiplicaciones de fracciones y potencias pendientes.

7.-  (2x^{7m}-x^{m})^{2}=\left (2x^{7m} \right )^{2}-2\left ( 2x^{7m} \right )\left ( x^{m} \right )+\left (x^{m} \right )^{2}=4x^{14m}-4x^{8m}+x^{2m} se llevo a cabo la resta del binomio al cuadrado  y se resolvieron las multiplicaciones y potencias pendientes.

8.-    \dpi{100} \small \left (\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{5}x^{3} \right )^{2}=\left ( \frac{1}{2}x^{2} \right )^{2}+2\left (\frac{1}{2}x ^{2} \right )\left ( \frac{3}{5}x^{3} \right )+\left ( \frac{3}{5} x^{3}\right )^{2}=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{3}{5}x^{5}+\frac{9}{25}x^{6}     se llevo a cabo la suma del binomio al cuadrado  y se resolvieron las multiplicaciones de fracciones y potencias pendientes.

9.-    \left ( \frac{1}{7}x -9\right )^{2}=\left (\frac{1}{7} x\right )^{2}-2\left ( \frac{1}{7}x \right )\left ( 9 \right )+9^{2}=\frac{1}{49}x^{2}-\frac{18}{7}x+81    se llevo a cabo la resta del binomio al cuadrado  y se resolvieron las multiplicaciones de fracciones y potencias pendientes.

10.-  \left ( 5a^{3}+\frac{1}{2}a\right )^{2}=(5a^{3})^{2}+2(5a^{3})\left ( \frac{1}{2} a\right )+\left ( \frac{1}{2} a\right )^{2}=25a^{6}+5a^{4}+\frac{1}{4}a^{2}     se llevo a cabo la suma del binomio al cuadrado  y se resolvieron las multiplicaciones de números enteros y multiplicaciones de fracciones y potencias pendientes.

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