Cuando hablamos de binomios con un término en común; nos referimos a dos binomios donde uno de los dos términos que los forman es común en ambos binomios; todo ésto genera un producto notable. A continuación en éste post, haremos un estudio básico de las diferentes definiciones acerca de éste tema y del producto notable que se forma cuando multiplicamos dos binomios que poseen un término común.

Que son binomios con un término común

Los binomios con un término común, son aquellos binomios donde uno de los dos términos que integran cada binomio, es igual en ambos.

Ejemplos de binomios con un término común

1.-    Dado los binomios  P(x)=(x+a)  y  Q(x)=(x+b)   tienen el término común  \left (x \right )

2.-    Dado los binomios  P(x)=\left (\frac{1}{3}x+5 \right )  y  Q(x)=\left (\frac{1}{3}x-10 \right )   tienen el término común \left (\frac{1}{3}x \right )

3.-    Dado los binomios  P(x)=\left (\frac{1}{3}x+5 \right )  y  Q(x)=\left (\frac{1}{3}x-10 \right )   tienen el término común \left (\frac{1}{3}x \right )

De multiplicar dos binomios con un término común, se genera el producto notable conocido como: producto de dos binomios con un termino común.

Producto de binomios con un término común

El producto de dos binomios con un término en común; es igual al cuadrado del término común, más la (suma o resta) de los dos términos no comunes multiplicados por el término común, más el producto de los términos no comunes.

Formula del producto de binomios con un término común

La formula a utilizar en este tipo de producto notable es la siguiente:

(x+a)(x+b)= x^{2}+\left (a+b \right )x+ab

Existen otras formas de la formula:

El planteamiento es el mismo; lo que varía en ellas, es que se agrupan los términos no comunes para resolver las operaciones de los signos que estos poseen; lo que trae como consecuencia que aveces en vez de sumar vamos a restar; y que en algunos casos la multiplicación de los signos nos de negativa:

(x-a)(x-b)=x^{2}+(-a-b)x+\left [ (-a)(-b) \right ]=x^{2}+(-a-b)x+ab

(x+a)(x-b)=x^{2}+(a-b)x+\left [ (a)(-b) \right ]=x^{2}+(a-b)x-ab

(x-a)(x+b)=x^{2}+(-a+b)x+\left [ (-a)(b) \right ]=x^{2}+(-a+b)x-ab

Reglas de cómo resolver el producto de binomios con un término común

Para resolver el producto de dos binomios con un término común debemos tener presente lo siguiente:

  1. Que el producto sea de binomios.
  2. Que los binomios tengan un término común
  3. Luego encontramos el cuadrado del termino que es común en ambos binomios.
  4. Sumamos o restamos los términos que no son comunes y el resultado lo multiplicamos por el término común.
  5. Multiplicamos los términos no comunes (los signos que estos posean también se multiplican).
  6. Escribimos los resultados en el orden en que se resolvieron.

Es bueno recordar la ley de los signos:

En la multiplicación:

\small {\color{Blue} +*+=+} ,        \small {\color{Red} +*-=-} ,        \small {\color{Blue} -*+=-} ,      \small {\color{Red} -*-=+}

En la suma: 

Signos iguales se suman y signos diferentes se restan; al resultado de la suma o resta se le debe colocar el signo del número mayor.

Qué se obtiene de resolver un producto de dos binomios con un término común

El resultado que se obtiene de desarrollar un producto de binomios con un término común es un trinomio cuadrado.

Ejercicios del producto de binomios con un término común, 10 ejemplos resueltos

1.-    (x+1)(x+5)= x^{2}+(1+5)x+5(1)=x^{2}+6x+5   se aplicó el producto de los binomios con un término común,  la suma de los términos no comunes (signos iguales se suman ), las multiplicaciones (números y signos) y las potencias presentes.

2.-    (x-10)(x-3)=x^{2}+(-10-3)x+(-10)(-3)=x^{2}-13x+30   se resolvió el producto de los binomios con un término común,  la suma de los términos no comunes (signos iguales se suman ), las multiplicaciones (números y signos) y las potencias presentes.

3.-    (z+2)(z-7)=z^{2}+(2-7)z+2(-7)=z^{2}-5z-14 se efectuó el producto de los binomios con un término común,  la resta de los términos no comunes (signos diferentes se restan), las multiplicaciones (números y signos) y las potencias presentes.

4.-    (m^{3}+5)(m^{3}-1)=\left (m^{3} \right )^{2}+(5-1)m^{3}+5(-1)=m^{6}+4m^{3}-5  se resolvió el producto de los binomios con un término común, la resta de los términos no comunes  (signos diferentes se restan), las multiplicaciones (números y signos) y las potencias presentes.

5.-     (2+x^{2})(-1+x^{2})=\left (x^{2} \right )^{2}+(2-1)x^{2}+2(-1)=x^{4}+x^{2}-2   se resolvió el producto de los binomios con un término común, la resta de los términos no comunes  (signos diferentes se restan), las multiplicaciones (números y signos) y las potencias presentes.

6.-     (3x-4)(3x-10)=(3x)^{2}+(-4-10)(3x)+(-4)(-10)=9x^{2}-42x+40   se resolvió el producto de los binomios con un término común, la suma de los términos no comunes  (signos iguales se suman), las multiplicaciones (números y signos) y las potencias presentes.

Otros ejemplos:

7.-    \small \left ( x-\frac{3}{4} \right )\left ( x+\frac{4}{5} \right )=x^{2}+\left [ \left ( -\frac{3}{4} +\frac{4}{5}\right ) x\right ]+\left (-\frac{3}{4} \right )\left ( \frac{4}{5} \right )=x^{2}+\frac{1}{20}x-\frac{12}{20}=

\small x^{2}+\frac{1}{20}x-\frac{3}{5}

Se realizó el producto de los binomios con un término común, la suma de fracciones con distinto denominador de los términos no comunes \small \left [ \left ( -\frac{3}{4} +\frac{4}{5}\right ) \right ]=\frac{1}{20}   y el resultado se multiplicó por el término común \small \left (\frac{1}{20} \right )(x)=\frac{1}{20}x,  se hicieron las multiplicaciones de fracciones \small \left (-\frac{3}{4} \right )\left ( \frac{4}{5} \right )=-\frac{12}{20} (números y signos) , las potencias presentes y se simplificaron los resultados.

8.-    \small \left ( 4x^{m}-\frac{3}{4} \right )\left ( 4x^{m} +\frac{2}{5}\right )=\left ( 4x^{m} \right )^{2}+\left [ \left ( -\frac{3}{4}+\frac{2}{5} \right ) \right ]\left ( 4x^{m} \right )+\left ( -\frac{3}{4} \right )\left ( +\frac{2}{5} \right )=

\small 16x^{2m}-\frac{7}{5}x^{m}-\frac{3}{10}

Efectuamos el producto de los binomios con un término común, la suma de fracciones con distinto denominador de los términos no comunes \small \left ( -\frac{3}{4} +\frac{2}{5}\right )=-\frac{7}{20}  y el resultado se multiplicó por el término común (multiplicación de fracción por número entero) \small \left (-\frac{7}{20} \right )\left (4x^{m} \right )=\frac{7}{5}x^{m}   (se simplificaron los resultados), se hicieron las multiplicaciones de fracciones (signos y números) \small \left (-\frac{3}{4} \right )\left ( \frac{4}{5} \right )=-\frac{12}{20}   (se simplificaron los resultados) y se resolvieron las potencias presentes.

9.-    \small \left ( \frac{3}{5}x+ 5\right )\left ( \frac{3}{5}x-2 \right )=\left ( \frac{3}{5}x \right )^{2}+(5-2)\left ( \frac{3}{5}x \right )+5(-2)=\frac{9}{25}x^{2}+\frac{9}{5}x-10

Se aplicó el producto de los binomios con un término común, la resta de los términos no comunes  \small (5-2)=3 y el resultado se multiplicó por el término común (multiplicación de fracción por número entero) \small (3)\left ( \frac{3}{5}x \right )=\frac{9}{5}x, se hicieron las multiplicaciones (signos y números) y las potencias presentes.

10.-    \small \left ( \frac{2}{7}x+\frac{1}{2} \right )\left (\frac{2}{7}x +\frac{1}{3} \right )=\left ( \frac{2}{7} x\right )^{2}+\left ( \frac{1}{2} +\frac{1}{3}\right )\left ( \frac{2}{7}x \right )+\left ( \frac{1}{2} \right )\left ( \frac{1}{3} \right )=

\small \frac{4}{49}x^{2}+\frac{5}{21}x+\frac{1}{6}

Se hizo el producto de los binomios con un término común, la suma de fracciones con distinto denominador de los términos no comunes \small \left ( \frac{1}{2} +\frac{1}{3}\right )=\left (\frac{5}{6} \right ) y el resultado se multiplicó por el término común (multiplicación de fracciones) \small \left (\frac{5}{6} \right )\left ( \frac{2}{7}x \right )=\frac{10}{42}x=\frac{5}{21}x (se simplificaron los resultados), se hicieron las multiplicaciones de fracciones (signos y números) \small \left (\frac{1}{2} \right )\left ( \frac{1}{3} \right )=\frac{1}{6} y las potencias presentes.

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