La suma o diferencia de cubos, factorización, formulas, ejercicios resueltos

Uno de los tipos de factorización existentes, es la factorización de la suma y diferencia de cubos. En el siguiente post estudiaremos la factorización de las diferentes operaciones, sus formulas, las definiciones y formas de resolver cada método.

Contents

1 Qué es un cubo perfecto
2 Suma de cubos
3 Diferencia de cubos
4 Qué es la factorización de una suma y diferencia de cubos
5 Factorización de una suma de cubos
6 Formula de la factorización de una suma de cubos perfectos
- 6.1 Ejercicios de la factorización de una suma de cubos, 6 ejemplos resueltos
7 Factorización de una diferencia de cubos
8 Formula de la factorización de una suma de cubos perfectos
- 8.1 Ejercicios de la factorización de una diferencia de cubos, ejemplos resueltos

Antes de estudiar la factorización de la suma y diferencia de cubos es necesario conocer una serie de puntos como lo son: cubo perfecto, la adición de cubos, la sustracción de cubos.

Qué es un cubo perfecto

Cuando hablamos de cubos perfectos nos referimos a expresiones, términos o factores que tienen una raíz cúbica exacta.

Suma de cubos

Hablar de la suma de cubos, es referirse a un binomio, donde sus términos están elevados a la potencia tres (3), y que además entre ellos estará el signo de la operación suma.

Diferencia de cubos

Cuando hablamos de la diferencia de cubos, nos referimos a un binomio, donde sus términos están elevados a la potencia tres (3), y que además entre ellos estará el signo de la operación resta.

Qué es la factorización de una suma y diferencia de cubos

Factorizar una suma o diferencia de cubos, es convertir una expresión algebraica o un binomio, en la multiplicación de un binomio por un trinomio.

A continuación se explican de manera más detallada cada una de las factorizaciones de estas operaciones por separado.

Factorización de una suma de cubos

La suma de dos cubos se puede descomponer en un producto de dos factores, donde el primero es un binomio igual a la suma de las bases de los cubos (las raíces de los términos del binomio dado); y el segundo es un trinomio igual a la suma de los cuadrados de las bases (suma del cuadrado de las raíces), menos el producto de las dos bases (producto de las raíces).

Formula de la factorización de una suma de cubos perfectos

La formula a usar al momento de factorizar una suma de cubos es la siguiente:

$x^{3}+a^{3}=(x+a)(x^{2}+a^{2}-ax)$

Ejercicios de la factorización de una suma de cubos, 6 ejemplos resueltos

1.- $x^{3}+8=$ es lo mismo que ${\color{Blue} x^{3}+2^{3}=}$

Solución:

Sacamos las raíces

$x^{3}=x$

$8=2$

Sustituimos en la formula

$x^{3}+8=x^{3}+2^{3}=(x+2)\left [x^{2}+2^{2}-(2)(x) \right ]=(x+2)(x^{2}+4-2x)$

2.- $x^{3}+1=$ es lo mismo que ${\color{Blue} x^{3}+1^{3}=}$

Solución:

Sacamos las raíces

$x^{3}=x$

$1=1$

Sustituimos en la formula

$x^{3}+1=x^{3}+1^{3}=(x+1)\left [x^{2}+1^{2}-(1)(x) \right ]=(x+1)(x^{2}+1-x)$

3.- $8x^{3}+27=$ es lo mismo que ${\color{Blue}(2x)^{3}+3^{3}=}$

Solución:

Sacamos las raíces

$8x^{3}=2x$

$27=3$

Sustituimos en la formula

$\small 8x^{3}+27=(2x)^{3}+3^{3}=(2x+3)\left [(2x)^{2}+3^{2}-(3)(2x) \right ]=(2x+3)(4x^{2}+9-6x)$

4.- $\small x^{12}+1=$ es lo mismo que ${\color{Blue}(x^{4})^{3}+1^{3}=}$

Solución:

Sacamos las raíces

$x^{12}=x^{4}$

$1=1$

Sustituimos en la formula

$\small x^{12}+1=(x^{4})^{3}+1^{3}=(x^{4}+1)\left [(x^{4})^{2}+1^{2}-(1)(x^{4}) \right ]=(x^{4}+1)(x^{8}+1-x^{4})$

5.- $\small x^{6}+27$ es lo mismo que ${\color{Blue}(x^{2})^{3}+3^{3}=}$

Solución:

Sacamos las raíces

$x^{6}=x^{2}$

$27=3$

Sustituimos en la formula

$\small x^{6}+27=(x^{2})^{3}+3^{3}=(x^{2}+3)\left [(x^{2})^{2}+3^{2}-(3)(x^{2}) \right ]=(x^{2}+3)(x^{4}+9-3x^{2})$

6.- $\small \frac{1}{8}x^{3}-\frac{1}{8}=$ es lo mismo que ${\color{Blue} \left (\frac{1}{2}x \right )^{3}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}=}$

Solución:

Sacamos las raíces

$x^{6}=x^{2}$

$27=3$

Sustituimos en la formula

$\small x^{6}+27=(x^{2})^{3}+3^{3}=(x^{2}+3)\left [(x^{2})^{2}+3^{2}-(3)(x^{2}) \right ]=(x^{2}+3)(x^{4}+9-3x^{2})$

7.- $\small (3x+2)^{3}+(3x-2)^{3}=$

Solución:

Sacamos las raíces

$\small (3x+2)^{3}= 3x+2$

$\small (3x-2)^{3}= 3x-2$

Sustituimos en la formula

$\small (3x+2)^{3}+(3x-2)^{3}=(3x+2+3x-2)\left [(3x+2)^{2}+(3x-2)^{2}-(3x+2)(3x-2) \right ]$

$\small =6x(9x^{2}+12x+4+9x^{2}-12x+4-9x^{2}+6x-6x+4)= 6x(9x^{2}+12)$

$\small = 54x^{2}+72x= 18x(3x^{2}+4)$

Factorización de una diferencia de cubos

La diferencia de dos cubos se puede descomponer en un producto de dos factores, donde el primero es un binomio igual a la diferencia de las bases de los cubos (las raíces de los términos del binomio dado); y el segundo es un trinomio igual a la suma de los cuadrados de las bases (suma del cuadrado de las raíces), más el producto de las dos bases (producto de las raíces).

Formula de la factorización de una suma de cubos perfectos

La formula a usar al momento de factorizar una diferencia de cubos es la siguiente:

$x^{3}-a^{3}=(x-a)(x^{2}+a^{2}+ax)$

Ejercicios de la factorización de una diferencia de cubos, ejemplos resueltos

1.- $\small x^{3}-64=$ es lo mismo que ${\color{Blue}x^{3}-4^{3}=}$

Solución:

Sacamos las raíces

$x^{3}=x$

$64=4$

Sustituimos en la formula

$\small x^{3}-64= x^{3}-4^{3}= (x-4)\left [(x)^{2}+4^{2}+(4)(x) \right ]=(x-4)(x^{2}+16+4x)$

2.- $\small x^{3}-1=$ es lo mismo que ${\color{Blue}x^{3}-1^{3}=}$

Solución:

Sacamos las raíces

$x^{3}=x$

$1=1$

Sustituimos en la formula

$\small x^{3}-1=x^{3}-1^{3}=(x-1)\left[x^{2}+1^{2}+(1)(x)\right ]=(x-1)(x^{2}+1+x)$

3.- $\small 8x^{12} -1=$ es lo mismo que ${\color{Blue}(2x^{4})^{3}-1^{3}=}$

Solución:

Sacamos las raíces

$8x^{12}=2x^{4}$

$1=1$

Sustituimos en la formula

$\small 8x^{12}-1=(2x^{4})^{3}-1^{3}=(2x^{4}-1)\left[(2x^{4})^{2}+1^{2}+(1)(2x^{4})\right ]$

$\small = (2x^{4}-1)(4x^{8}+1+2x^{4})$

4.- $\small 27x^{3}-8=$ es lo mismo que ${\color{Blue}(3x)^{3}-2^{3}=}$

Solución:

Sacamos las raíces

$27x^{3}=3x$

$8=2$

Sustituimos en la formula

$\small 27x^{3}-8= (3x)^{3}-2^{3}=(3x-2)\left [(3x)^{2}+2^{2}+(2)(3x) \right ]=(3x-2)(9x^{2}+4+6x)$

5.- $\small \frac{1}{27}x^{3}-\frac{1}{8}=$ es lo mismo que ${\color{Blue}\left (\frac{1}{3}x \right )^{3}-\left (\frac{1}{2} \right )^{3}=}$

Solución:

Sacamos las raíces

$\frac{1}{27}x^{3}=\frac{1}{3}x$

$\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$

Sustituimos en la formula

$\small \frac{1}{27}x^{3}-\frac{1}{8}=\left (\frac{1}{3} x\right )^{3}-\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}=\left (\frac{1}{3} x-\frac{1}{2} \right )\left [ \left ( \frac{1}{3} x\right )^{2} +\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}+\left (\frac{1}{3}x \right )\left (\frac{1}{2} \right )\right ]$

$\small =\left ( \frac{1}{3}x-\frac{1}{2} \right )\left ( \frac{1}{9}x^{2} +\frac{1}{4}+\frac{1}{6}x\right )$

6.- $\small (x+2)^{3}-(x-2)^{3}=$

Solución:

Sacamos las raíces

$\small (x+2)^{3}= x+2$

$\small (x-2)^{3}= x-2$

Sustituimos en la formula

$\small (x+2)^{3}-(x-2)^{3}=(x+2-x+2)\left [(x+2)^{2}+(x-2)^{2}+(x+2)(x-2) \right ]$

$\small =4(x^{2}+4x+4+x^{2}-4x+4+x^{2}-2x+2x-4)= 4(3x^{2}+4)$