Conjunto fundamental de soluciones de una ecuación diferencial

A continuación se resolverá un ejemplo de Conjunto Fundamental de Soluciones para una ecuación diferencial ordinaria y además determinamos si un conjunto de funciones dadas es linealmente dependiente o independiente. Te invitamos a tomar lápiz y papel y resolverlo paso a paso.

Ejemplo

Demostrar que las funciones y_{1} = e^{x} y y_{2} = e^{-x} son soluciones de la E.D.O {y}'' - y = 0. Compruebe que esas funciones son linealmente independientes y halle la solución general de la ecuación diferencial.

SOLUCIÓN:

Paso 1. Comprobar que las funciones dadas son soluciones de la E.D.O

La función y_{1} = e^{x} es solución de la ecuación diferencial ordinaria, ya que {y}' = e^{x} y {y}'' = e^{x} , luego sustituyendo, queda

\underset{{y}''}{\underbrace{e^{x}}} - \underset{y}{\underbrace{e^{x}}} = 0

Por lo tanto, se concluye que es solución.

También se puede comprobar de la misma manera, que y = e^{-x} es solución de la E.D.O {y}'' - y = 0, ya que {y}' = e^{-x} y {y}'' = e^{-x}, luego sustituyendo, queda:

\underset{{y}''}{\underbrace{e^{-x}}} - \underset{y}{\underbrace{e^{-x}}} = 0

Paso2. Demostrar que el conjunto es linealmente independiente y por lo tanto es un conjunto fundamental de soluciones

Ahora, para comprobar que el conjunto es linealmente independiente, se tiene que el determinante Wronskiano del conjunto \left \{ e^{x}, e^{-x} \right \} es

W\left ( e^{x},e^{-x} \right ) = \begin{vmatrix} e^{x} & e^{-x}\\ \\ \frac{d}{dx}\left ( e^{x} \right ) & \frac{d}{dx}\left ( e^{-x} \right ) \end{vmatrix}

Derivando y resolviendo el determinante se tiene

W\left ( e^{x}, e^{-x} \right ) = \begin{vmatrix} e^{x} & e^{-x}\\ \\ e^{x} & -e^{-x} \end{vmatrix} = e^{x}\left ( -e^{-x} \right ) - e^{-x}\left ( e^{x} \right ) = -2 \neq 0

Por lo tanto, de acuerdo al teorema del criterio para soluciones linealmente independientes , como el Wronskiano es distinto de cero el conjunto \left \{ e^{x}, e^{-x} \right \} es linealmente independiente \forall x \in \mathbb{R} y forman un conjunto fundamental de soluciones.

Paso 3. Conocido el conjunto fundamental de soluciones escribir la solución general

De acuerdo al teorema la solución general de la E.D.O en el intervalo \left ( -\infty , \infty \right ) es
y = c_{1}e^{x} + c_{2}e^{-x}