A continuación presentamos un par de ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales de variables separables, siguiendo los pasos que hemos comentado en sección teórica de la web asociada a las ecuaciones diferenciales de variables separadas y separables.
Determine la solución general de la ecuación diferencial de variables separables siguiente
Paso 1
Lo que haremos será factorizar la ecuación hasta que nos quede una expresión más manejable. Esto si la ecuación diferencial de variables separables nos lo permite, claro está.
Factorizando
La simplificación de la ecuación no ha resultado tan amigable, sin embargo, podemos apelar a un recurso matemático como el cambio de variable, que sin duda nos proporcionara una mejor ruta de cara a obtener la solución general de la ecuación diferencial de variable separables que estamos desarrollando a continuación.
Cambio de variable
Que luego al sustituir las nuevas variables nos queda:
Seguimos simplificando la ecuación ahora multiplicando toda la expresión por $x$ y realizando las reducciones correspondientes.
Agrupando términos semejantes con sus respectivos diferenciales
Reduciendo y agrupando las variables con sus diferenciales correspondientes finalmente tenemos:
Ya contamos con las variables separadas, con lo cual podemos avanzar hacia el siguiente paso que es integrar ambas ecuaciones.
Paso 2
Integramos las ecuaciones diferenciales de variables separadas, ojo aquí, notemos que ahora nos referimos a expresión como una ecuación de diferencial de variables separadas y no como una de variables separables.
Toda ecuación diferencial de variables separables debe llevarse a la expresión de la ecuación diferencial de variables separadas antes de poder integrarla.
Integrando ambas ecuaciones
Podemos notar que la primera integral es sencilla, de hecho es una de solución inmediata, con lo cual podemos expresar su solución
Ahora, la segunda integral si requiere de un poco más de dedicación en su resolución, como ya hemos dicho, no es objetivo nuestro detenernos en los detalles del cálculo integral, con lo cual avanzaremos rápidamente en la solución de esta expresión integral.
NOTA: ESTAMOS DESARROLLANDO UN NUEVO PORTAL DEDICADO EXCLUSIVAMENTE AL CALCULO INTEGRAL, POR LO QUE PEDIMOS UN POCO DE PACIENCIA MIENTRAS LO TENEMOS LISTO.
La segunda integral es una integral por partes donde tenemos:
Multiplicando la integral por
Y ahora sumando y restando t
Simplificando
Resolviendo las respectivas integrales
Uniendo el resultado de ambas integrales
Finalmente devolvemos el cambio de variable
t=xy
Y ahí lo tenemos, la solución general de la ecuación diferencial de variables separables
Conclusiones del ejercicio de ecuaciones diferenciales de variables separables
Si nos fijamos, los pasos son simples, y dos en realidad. En el primero intentamos simplificar la ecuación diferencial de variables separables hasta que nos quedara una expresión que pudiéramos manejar fácilmente y que además nos facilitara la separación de las variables cada una con su respectivo diferencial. En otras palabras, buscamos una expresión que nos permitiera pasar de esto:
A esto
Luego, en el paso dos, integramos la ecuación, empleando el método de integración correspondiente y por ultimo resolvemos la integral para luego expresar la solución general de la ecuación diferencial.
En este particular, empleamos: simplificación, cambio de variables e integración por partes.
Cada ecuación diferencial puede sugerir un método de factorización diferente e incluso un integración diferente, con lo cual la practica nos permitirá alcanzar un mejor dominio de la materia.