Criterios de divisibilidad

Para estudiar los criterios de divisibilidad es importante conocer antes una serie de definiciones que formaran parte de algunos de los criterios:

Números pares:

Se pueden definir como aquellos que terminan en 0,2,4,6,8; o aquellos números que se separan de forma exacta en grupos de 2.

Números impares:

Se pueden definir como aquellos que terminan en 1,3,5,7,9; o aquellos números que no se separan de forma exacta en grupos de 2.

A continuación se procederá a estudiar las definiciones de la divisibilidad de un número y sus reglas o criterios:

Que es la divisibilidad

La divisibilidad de un número nos señala que: un número entero (b) es divisible por otro entero (a) si existe otro número entero (c) tal que, si yo multiplico a * c nos da como resultado b ( a * c = b).

ejemplo:

12 es divisible por 3  si existe otro número (c) tal que  3 *c= 12

12 es divisible por 3 ya que  si c=4 entonces  3 *4=12

En la divisibilidad de un número existen unos criterios que son de gran importancia, ya que por medio de ellos, siguiendo ciertas reglas, podemos saber si un número es divisible por otro sin que sea necesario efectuar una división o aplicar reiteradamente el concepto de divisibilidad.

Éstos criterios también nos ayudan al momento de querer realizar una simplificación de fracciones; y en el mínimo común múltiplo o máximo común divisor que se nos hace necesario descomponer en factores primos.

Reglas de divisibilidad

Son una serie de criterios que posee un número y que ofrecerán una gran ventaja para demostrar cuales números pueden ser divisibles por él.

Un número es divisible por “2”

Si su última cifra es cero o una cifra par.

Ejemplos de divisibilidad por 2:

26 es divisible por 2 porque termina en un numero par (6).

350 es divisible por 2 porque termina en cero (0).

351 no es divisible por 2 porque no termina en cifra par ni cero.

Un número es divisible por “3”

Si la suma de sus cifras es 3 o múltiplo de 3.

Ejemplos de divisibilidad por 3:

1002 es divisible por 3 porque si sumamos 1+0+0+2 nos da = 3.

87 es divisible por 3 porque si sumamos 8+7 nos da = 15  y   «15 es múltiplo de 3  (3*5 = 15)».

972 es divisible por 3 porque si sumamos 9+7+2 nos da = 18   y   «18 es múltiplo de 3  (3*6 = 18)».

361 no es divisible por 3 porque si sumamos 3+6+1 nos da = 10  y   «10 no es múltiplo de 3.

Un número es divisible por «5»

Si su última cifra es cero o cinco.

Ejemplos de divisibilidad por 5:

65 es divisible por 5 porque termina en  cinco (5).

370 es divisible por 5 porque  termina en cero (0).

2495 es divisible por 5 porque termina en  cinco (5).

553 no es divisible por 5 porque no termina en cinco (5) ni cero (0).

Un número es divisible por «9»

Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

Ejemplos de divisibilidad por 9:

18 es divisible por 9 porque si sumamos 1+8 nos da = 9  y   «9 es múltiplo de 9  (9*1 = 9)».

495 es divisible por 9 porque si sumamos 4+9+5 nos da = 18  y   «18 es múltiplo de 9  (9*2 = 18)».

2689 no es divisible por 9 porque si sumamos 2+6+8+9 nos da = 25  y   «25  no es múltiplo de 9..

Un número es divisible por «10»

Si termina en el numero cero (0).

Ejemplos de divisibilidad por 10:

50 es divisible por 10 porque termina en  cero (0).

869 no es divisible por 10 porque no termina en cero (0).

Un número es divisible por «7»

Un número es divisible por 7 si al separar la ultima cifra(las unidades) y la multiplicamos por 2,  luego el resultado se lo restamos al resto de la cantidad nos da como resultado cero (o) un múltiplo de 7.

Ejemplos de divisibilidad por 7:

364 es divisible por 7 porque si separamos el 4 del resto de la cantidad obtenemos:

4 y si lo multiplicamos por 2 nos da 8 (4 *2= 8)

ahora restamos el resultado al resto de la cantidad (36-8=28)  y «28 es múltiplo de 7  (7 *4= 28)».

8372 es divisible por 7 ? 

Separamos la ultima cantidad y multiplicamos nos da 2 *2=4 ahora

837-4=833 como el resultado sigue siendo muy alto repetimos el procedimiento en el resultado obtenido

833  resolvemos (3 *2 =6) entonces 83 – 6 = 77

ahora podemos decir que como «77 es múltiplo de 7 (7 *11= 77)» entonces  77 y 8372 son divisibles por 7.

576 no es divisible por 7 porque (6 *2=12)  ahora   (57-12=45)  y  45 no es múltiplo de 7.

Un número es divisible por «4»

Un número es divisible por 4 cuando sus ultimas dos cifras son (0) o múltiplos de 4.

Ejemplos de divisibilidad por 4:

1500 es divisible por 4 pues sus últimas dos cifras son ceros(00).

8424 es divisible por 4 pues sus dos últimas cifras forman el 24 y es un múltiplo de 4 (4 x 6 =24).

42530 no es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras forman el 30 y no es múltiplo de 4.

Un número es divisible por «6»

Un número es divisible por 6 cuando lo es por 2 y por 3 a la vez.

Ejemplos de divisibilidad por 6:

246 es divisible por 6 ya que es divisible por 2 (termina 6 que es par) y divisible por 3  (la suma de sus cifras 2 + 4 + 6 = 12 que es múltiplo de 3).

 5368 no es divisible por 6 debido a que,  es divisible por 2 (termina en número par 4) pero no es divisible por 3 (la suma de sus cifras 5+3+6+8=22 que no es múltiplo de 3).

Un número es divisible por «8»

Un número es divisible por ocho cuando sus tres ultimas cifras son cero o cuando éstas forman un número que es múltiplo de 8.

Ejemplos de divisibilidad por 8:

5000 es divisible por 8 ya que sus últimas tres cifras son ceros (000).

3448 es divisible por 8 debido a que sus últimas tres cifras forman 448  y «448 un múltiplo de 8» ya que (8 *56=448) o (448 ÷ 8 = 56).

4356 no es divisible por 8 ya que sus últimas tres cifras no son ceros ni  tampoco forman un múltiplo de 8 (356 entre 8 =44.5) no existe ningún numero exacto que multiplicado por 8 nos de 356.

Un número es divisible por «11»

Un número es divisible por 11 cuando la suma de los números que se encuentran ubicados en la posición «par» restada con la suma de los números que están en la posición «impar» dan como resultado cero (0) o un número que sea múltiplo de 11. podemos a ubicar la posición tanto del lado derecho como del izquierdo.

Ejemplos de divisibilidad por 11:

5863 es divisible por 11 ya que : primero identifico mis cifras pares y las sumo (voy de derecha a izquierda) 6+5= 11, luego las impares y las sumo 3+8= 11, ahora  resto 11-11=0;  y como el resultado es cero entonces es divisible por 11.

57342 no es divisible por 11 porque: (voy de derecha a izquierda), cifras pares( 4+7= 11),  cifras impares (2+3+5=10), ahora par menos impar ( 11-10= 1) y el resultado no es múltiplo de 11.

Cabe destacar que existen muchos otros criterios de divisibilidad; pero éstos son los mas usados.