Derivada

El cálculo es una rama de la matemática que estudia la resolución de problemas relacionados a las variables de una ecuación, permitiendo determinar el valor de la pendiente, valores mínimos, máximos, crecimiento y decrecimiento de una función, concavidad y convexidad, área, volumen entre otras cosas, para ello, dada su amplitud en su aplicación se divide es varias áreas entre la que se encuentra el cálculo diferencial, concentrada en el estudio de las variaciones de las funciones continuas, fundamentado en el cálculo de la derivada.

Derivada.

La derivada de una función se aplica solo para un punto donde la función es continua, dado que la misma es una relación o variación instantánea de las variables Y y X.

Se interpreta geométricamente a la derivada, como la pendiente de la recta tangente de una función, es por ello que se le define tomando el límite de la pendiente de la línea secante cuando se aproxima a la línea tangente.

En conclusión se define derivada como:

La derivada de f(x) es el límite del valor del cociente diferencial, conforme a como se aproxima la línea secante a la línea tangente.

Dicho de otra forma:

La derivada de una función Y = f(x) con respecto a X en un punto X=X0 se define por el límite de;

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(X_{O}+h)-f(X_{0})}{h} Siempre que exista.

donde h es un numero real de valor mínimo, cumpliendose que la derivada por la derecha sea igual a la derivada de la izquierda.

Este límite se denomina también como cociente instantáneo de incremento de Y con respecto de X en un punto X0.

Es importante acotar que como el limite de h tiende a cero y se ubica en el denominador, en necesario aplicar una serie de operaciones o factorizaciones, que permita eliminar la h, para proceder en la resolución.

Denotación de la derivada.

La derivada de una función f(x) con respecto a x se puede denotar de varias maneras:

.- \frac{d}{dx}y

.- \frac{dy}{dx}

.- Y{}'

.- f{}'(x)

.- \frac{d}{dx}f(x)

Regla de derivación y regla de la cadena.

La regla de derivación y la regla de la cadenas, consiste en la aplicación de una serie de procedimiento para resolver la derivada sin aplicar límite.

En el caso de la regla de derivada se debe cumplir con las denominadas propiedades de las derivadas y en la regla de la cadena se aplica solo cuando existe una composición entre dos funciones.

Propiedades de las derivadas

.- Derivada de una constante

\frac{d}{dx} c= 0

.- Derivada de una función

\frac{d}{dx} x=1

.- Derivada de una suma o resta.

\frac{d}{dx}(x+v-w)=\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(v)-\frac{d}{dx}(w)

.- Derivada de un producto

\frac{d}{dx}(x.v)=v.\frac{d}{dx}(x)+ x.\frac{d}{dx}(v)

.- Derivada de un cociente

\frac{d}{dx}(\frac{x}{v})=\frac{v.\frac{d}{dx}(x)-x.\frac{d}{dx}(v)}{v^{2}} donde v\neq 0

.- Derivada de una potencia

\frac{d}{dx}x^{n}= n.x^{n-1}.{x}'

Derivadas de funciones elementales.

Cuando se está resolviendo problemas de derivadas es necesario la aplicación directa de ciertos procedimientos para facilitar y adelantar el cálculo, es por ello que se tiene en cuenta las derivada de las funciones más comunes, las cuales son publicadas en la denominada tabla de derivada.

Dentro de las derivadas elementales o comunes se encuentran:

.- Derivada de función exponencial.

\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}.\frac{d}{dx}(x).Ln(a)

 

\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.\frac{d}{dx}(x)

.- Derivada de función logarítmica.

\frac{d}{dx}Ln(x)=\frac{\frac{d}{dx}(x)}{x}

 

\frac{d}{dx}Log_{b}x=Log_{b}.e(\frac{x{}'}{x})

.- Derivadas de funciones trigonométricas: Seno, coseno, tangente.

\frac{d}{dx}Sen(x)=Cos(x).\frac{d}{dx}(x)

 

\frac{d}{dx}Cos(x)=-Sen(x).\frac{d}{dx}(x)

 

\frac{d}{dx}Tag(x)=Sec(x)^{2}.\frac{d}{dx}(x)

.- Derivadas de la función trigonométrica inversa: Son conocidas también como funciones arco trigonométricas, corresponden a la inversa de las seis funciones básicas señaladas anteriormente. Estas derivadas las estudiaremos detalladamente mas adelante .

Derivadas implícitas.

La derivadas implícitas son derivadas de funciones donde la variable dependiente que normalmente es la Y no se encuentra despejada dentro de la función y es difícil despejarla, es por ello que se aplica el método de derivación implícito el cual consiste en derivar la función respecto a la variable x.