Aplicaciones de la derivada.

Desde que iniciamos el estudio de la derivada, nos conseguimos con varios contenidos, su definición, resolución de derivadas polinomicas, trigonométricas e incluso ya hemos realizado algunas aplicaciones de las derivadas cuando calculamos los máximo y mínimo, demostramos si la función es creciente y decreciente, determinar los punto critico, la convexidad y concavidad, definir el punto de inflexión. Todos estos contenidos son aplicaciones de la derivada, las cuales se extiende a su utilidad en el cálculo de situaciones o problemas de la vida diaria.

Aplicación de la derivada.

La derivada nos permite resolver algunos problemas de la vida cotidiana como calculo de área y volumen, en esta oportunidad realizaremos algunos ejercicios donde presentaremos otras aplicaciones útiles de la derivada.

.- Calcular el área de un terreno rectangular, el cual fue delimitado con alambre utilizando para ello 400 m de este.

Se conoce que el terreno es rectangular y que fue delimitado, es decir, que los 400 m corresponde a su perímetro

$A\square = L.A$

Donde L es largo y A ancho del rectángulo

Perímetro (P) = 2L+2A

2A + 2L = 400

Para el calculo del área cambiaremos las variables A y L por X y Y

$A\square = X.Y$

2X+ 2Y= 400 despejamos la variable Y

Y= (400-2X)/2 sustituimos en la formula de área

$A\square = (\frac{400-2x}{2}).x$

$A\square = \frac{400x-2x^{2}}{2}$

$A\square = \frac{400x}{2}-\frac{2x^{2}}{2}$

$A\square = 200x-x^{2}$

$A\square = A(x)$ derivamos

${A(x)}'= 200x-x^{2}$

${A(x)}'= 200-2x$

para obtener el valor de x igualamos a cero

$200-2x=0$ despejamos x

$-2x=-200$

$x=\frac{-200}{-2}$

$x= 100$

se sustituye x en Y= (400-2X)/2

$Y=\frac{400 -2(100)}{2}$

$Y=\frac{400 -200}{2}$

$Y=\frac{200}{2}$

$Y=100$

entonces;

$A\square = 100m.100m.$

$A\square = 200m^{2}$

.- Se desea conocer las dimensiones de una caja cuadrada sin la tapa, sabiendo que tiene un volumen de $500cm^{3}$ .

El volumen de una caja es:

$V=A.h$ ó $V=L^{2}.h$

donde A es el área, L longitud de un lado de la caja y h la altura de la caja, pero ya conocemos el volumen, entonce;

$500cm^{3}=L^{2}.h$ despejamos la h

$h=\frac{500 cm^{3}}{L^{2}}$

Necesitamos el área de la caja, la cual es el área de la base mas el área de sus lados o caras de la caja;

$A_{caja}=A_{base}+A_{lado}$

donde

$A_{base}= L^{2}$

$A_{lado}=4L.h$ se dice que L es lado y multiplicamos por los 4 lados de la caja, por tanto

$A_{caja}=L^{2}+ 4Lh$ sustituimos $h=\frac{500 cm^{3}}{L^{2}}$

$A_{caja}=L^{2}+ 4L\frac{500 Cm^{3}}{L^{2}}$ simplificamos

$A_{caja}=L^{2}+ \frac{2000 Cm^{3}}{L}$

derivamos, pero nos olvidamos por un momento de las unidades métricas para facilitar el entendimiento del ejercicio

${A_{caja}}'=L^{2}+ \frac{2000}{L}$

una forma de facilitar la derivación es pasar la L del denominador al numerado con el exponente negativo y resolver como un producto, veamos

${A_{caja}}'=L^{2}+ 2000L^{-1}$

${A_{caja}}'=2L - 2000L^{-2}$

${A_{caja}}'=2L - \frac{2000}{L^{2}}$

Para conseguir el valor de L igualamos a cero

$2L - \frac{2000}{L^{2}}=0$

$2L = \frac{2000}{L^{2}}$

$2L^{3} = 2000$

$L^{3} = \frac{2000}{2}$

$L = \sqrt[3]{1000}$

$L = 10cm$

Ya conocemos la longitud de un lado de la caja, los cuales son iguales para todo por que en el enunciado dice que es cuadrada, falta calcular la altura, para ello;

$h=\frac{500 cm^{3}}{L^{2}}$

$h=\frac{500 cm^{3}}{(10cm)^{2}}$

$h=\frac{500 cm^{3}}{100cm^{2}}$

$h=5 cm$

Concluyendo la caja tiene una altura de 5 cm y sus lados miden 100 cm.