Derivada de una raíz

En la resolución de derivadas nos encontramos con la derivada de una función potencial, siendo igual al producto del exponente por la base elevada al exponente menos uno por la derivada de la base. Este procedimiento lo ratificaremos en la resolución de derivadas de una raíz.

Derivada de una raíz.

En muchas ocasiones se nos complica trabajar con las raíces, es por ello que la transformamos a potencia, recordemos que dicha transformación consiste en escribir el radicando elevado a la unidad entre el indice de la raíz. Es así como la derivada de una raíz la convertimos en derivada de una potencia, aplicando posteriormente:

\frac{d}{dx}x^{n}= n.x^{n-1}.{x}'

Resolver las siguientes derivadas:

1.- Y=\sqrt{X^{3}}

Transformamos la raíz a potencia

Y=(X^{3})^{\frac{1}{2}}

{Y}'={(X^{3})^{\frac{1}{2}}}'

 

{Y}'=\frac{1}{2}{(X^{3})^\frac{-1}{2}}{X^{3}}'

{Y}'=\frac{1}{2}{(X^{3})^\frac{-1}{2}}3X^{2}

como el exponente es negativo indica que la expresión va en el denominador, realizando la transformación a raíz;

{Y}'=\frac{3X^{2}}{2\sqrt{X^{3}}}

 

2.- Y=\sqrt[3]{X+2}

Y=({X+2})^{\frac{1}{3}}

{Y}'={({X+2})^{\frac{1}{3}}}'

{Y}'=\frac{1}{3}{({X+2})^\frac{-2}{3}}{(X+1)}'

{Y}'=\frac{1}{3}{({X+2})^\frac{-2}{3}}(1)

{Y}'=\frac{1}{3\sqrt[3]{(X+2)^{2}}}