Derivada del coseno - Wikimates

Dentro de las funciones básicas trigonométrica se encuentra el coseno, hoy nos centraremos a realizar algunos ejercicios de derivas de dicha función.

Derivada del coseno.

Como ya hemos estudiado la función coseno cuenta con su derivada elemental $\frac{d}{dx}Cos(x)=-Sen(x).\frac{d}{dx}(x)$ , de aquí partiremos para la resolución de los ejercicios conjuntamente con las relaciones trigonométricas según sea el caso.

Resolver las siguientes derivadas.

1.- ${Y}=Cos(x^{2})$

como $\frac{d}{dx}Cos(x)=-Sen(x).\frac{d}{dx}(x)$

${Y}'=-Sen(x^{2}).{(x^{2})}'$

${Y}'=-Sen(x^{2}).(2x)$

2.- $Y=Cos^{2}(x)-Sen^{2}(x)$

Si observamos la relación trigonométricas $Cos^{2}(x)-Sen^{2}(x)= Cos(2x)$ , al sustituir quedaría;

$Y=Cos(2x)$ donde

$\frac{d}{dx}Cos(x)=-Sen(x).\frac{d}{dx}(x)$

${Y}'=-Sen(2x).{(2x)}'$

${Y}'=-Sen(2x).({2}'x+2{x}')$

recordemos que la derivada de una constante es cero por tanto;

${Y}'=-Sen(2x).(0x+2.1)$

${Y}'=-2Sen(2x)$

3.- $Y=4Cos(x)+Sen(x)Ctg(x)$

antes de derivar tomemos en cuenta la relación trigonométrica $Ctg(x)=\frac{Cos(x)}{Sen(x)}$ , sustituimos y simplificamos

$Y=4Cos(x)+Sen(x)\frac{Cos(x)}{Sen(x)}$

$Y=4Cos(x)+Cos(x)$

podemos resolver de dos forma, la primera es aplicando las propiedades de la derivadas, tenemos una suma y producto

${Y}'={4Cos(x)}'+{Cos(x)}'$

${Y}'=({4}'Cos(x)+4{Cos(x)}')+{Cos(x)}'$

donde $\frac{d}{dx}Cos(x)=-Sen(x).\frac{d}{dx}(x)$ y la derivada de una constante es cero

${Y}'=(0Cos(x)-4Sen(x))-Sen(x)$

${Y}'=-4Sen(x)-Sen(x)$

${Y}'=-5Sen(x)$

La segunda forma y mas corta es

$Y=4Cos(x)+Cos(x)$

$Y=5Cos(x)$

al derivar quedaría

${Y}'=-5Sen(x)$

4.- $Y=Ln(Cos(x))$

como $\frac{d}{dx}Ln(x)=\frac{\frac{d}{dx}(x)}{x}$ entonces;

${Y}'=\frac{{Cos(x)}'}{Cos(x)}$

donde $\frac{d}{dx}Cos(x)=-Sen(x).\frac{d}{dx}(x)$

${Y}'=\frac{-Sen(x)}{Cos(x)}$

si aplicamos las relación trigonométrica $Tag(x)=\frac{Sen(x)}{Cos(x)}$

${Y}'=-Tag(x)$