Derivada de una función trigonométrica inversa

Cuando estudiamos las derivadas de las funciones trigonométricas, citamos las derivadas elementales de las seis funciones básicas con sus respectivas inversas, en esta oportunidad desarrollaremos algunos ejercicios con las funciones inversas.

Derivada de una función trigonométrica inversa.

Recordemos las derivadas elementales de las funciones trigonométrica inversas antes de iniciar los ejercicios:

1.- ArcSen(x)=\frac{{X}'}{\sqrt{1-X^{2}}}

2.- ArcCos(x)=\frac{{-X}'}{\sqrt{1-X^{2}}}

3.- ArcTg(x)=\frac{{X}'}{{1+X^{2}}}

4.- ArcCsc(x) =\frac{{-X}'}{X\sqrt{X^{2}-1}}

5.- ArcSec(x)=\frac{{X}'}{X\sqrt{X^{2}-1}}

6.- ArcCtg(x)=\frac{{-X}'}{{1+X^{2}}}

Resolver las siguientes derivadas:

Y=ArcoSen(x-2x^{2})

{Y}'={ArcoSen(x-2x^{2})}'

 

la derivada del arcoseno es de la forma ArcSen(x)=\frac{{X}'}{\sqrt{1-X^{2}}} , entonces;

{Y}'=\frac{{(x-2x^{2})}'}{\sqrt{1-(x-2x^{2})^{2}}}

{Y}'=\frac{1-4x}{\sqrt{1-(x-2x^{2})^{2}}}

 

2.- Y=Arccos(3X^{4})

la derivada del arcocoseno es de la forma ArcCos(x)=\frac{{-X}'}{\sqrt{1-X^{2}}}, entonces;

Y={Arccos(3X^{4})}'

{Y}'=\frac{{-(3X^{4})}'}{\sqrt{1-(3X^{4})^{2}}}

{Y}'=\frac{-12X^{3}}{\sqrt{1-9X^{8}}}

 

3.- Y= ArcTg(x/2)

la derivada de ArcTg(x)=\frac{{X}'}{{1+X^{2}}}, por tanto;

{Y}'= {ArcTg(x/2)}'

{Y}'=\frac{{\frac{X}{2}}'}{{1+(\frac{X}{2})^{2}}}

{Y}'=\frac{\frac{2{X}'-{2}'X}{2^{2}}}{{1+(\frac{X^{2}}{4})}}

{Y}'=\frac{\frac{2.1-0}{4}}{{1+\frac{X^{2}}{4}}}

{Y}'=\frac{\frac{2}{4}}{{1+\frac{X^{2}}{4}}}

{Y}'=\frac{\frac{1}{2}}{{\frac{4+X^{2}}{4}}}

{Y}'=\frac{4}{2(4+X^{2})}

{Y}'=\frac{2}{4+X^{2}}

 

4.- Y=ArcCsc(e^{x})

{Y}'={ArcCsc(e^{x})}'

donde ArcCsc(x) =\frac{{-X}'}{X\sqrt{X^{2}-1}}

{Y}'=\frac{{-e^{x}}'}{e^{x}\sqrt{(e^{x})^{2}-1}}

{Y}'=\frac{-e^{x}{x}'}{e^{x}\sqrt{e^{2x}-1}}

{Y}'=\frac{-e^{x}.{1}}{e^{x}\sqrt{e^{2x}-1}}

{Y}'=\frac{-e^{x}}{e^{x}\sqrt{e^{2x}-1}}

{Y}'=\frac{-1}{\sqrt{e^{2x}-1}}

5.- Y= ArcSec(Ln(x))

{Y}'= {ArcSec(Ln(x))}'

donde ArcSec(x)=\frac{{X}'}{X\sqrt{X^{2}-1}}

{Y}'=\frac{{Ln(x)}'}{Ln(x)\sqrt{(Ln(x))^{2}-1}}

{Y}'=\frac{\frac{^{{x}'}}{x}}{Ln(x)\sqrt{Ln(x)^{2}-1}}

{Y}'=\frac{1}{xLn(x)\sqrt{Ln(x)^{2}-1}}

 

6.- Y= ArcCtg(2x)

{Y}'= {ArcCtg(2x)}'

Recordemos que ArcCtg(x)=\frac{{-X}'}{{1+X^{2}}}, entonce;

{Y}'=\frac{{-(2x)}'}{{1+(2x)^{2}}}

{Y}'=\frac{-(2{x}'+{2}'x)}{{1+4x^{2}}}

{Y}'=\frac{-(2(1)+0)}{{1+4x^{2}}}

{Y}'=\frac{-2}{{1+4x^{2}}}

Por ultimo es importante recalcar que existen derivadas de funciones compuestas de las funciones trigonométricas inversas, denotadas z(x), las cuales se resuelven a partir de la aplicación de la regla de la cadena.