Ejercicios de derivadas

Una vez estudiadas las propiedades de las derivadas así como las derivadas elementales, es necesario ponerlas en practicas, para ello resolveremos algunos ejercicios, ayudándonos con la tabla de derivada.

Ejercicios de derivadas.

Derivar las siguientes funciones:

1.- Y= X + 9

Como la función es un polinomio, aplicamos la propiedad de la derivada de la suma

Y´= (X)´+ (9)´

en el caso del 9 es una constante, donde su propiedad da como resultado cero

Y´= 1+0

Y´= 1

2.- $Y= 5X^{2}+ 2X - 1$

Se aplica la propiedad de la derivada de una suma o resta conjuntamente con la propiedad de la derivada de un producto

$Y{}'= 5{(X^{2})}'+ {5}'(X^{2}) + 2{X}' + {2}'X - {1}'$

recordemos que por propiedad la derivada de una constante es cero y la derivada de una potencia se baja el exponente y a su vez le restamos uno

$Y{}'= 5(2X^{2-1})+ 0.(X^{2}) + 2X^{1-1} + 0.X - 0$

$Y{}'= 5(2X^{1})+ 0 + 2 + 0 - 0$

$Y{}'= 10X+ 2$

3.- $Y=\frac{X+5}{X^{2}}$

corresponde la propiedad de la derivada de un cociente

$Y=\frac{X^{2}.{(X+5)}'- (X+5){(X^{2})}'}{(X^{2})^{2}}$

Si derivamos X+5, la derivada de una constante es cero y la derivada X es uno

La derivada de $X^{2}$ , se baja el exponente y a su vez se le resta uno, quedando

$Y=\frac{X^{2}.(1+0)- (X+5).(2X)}{X^{4}}$

el denominador queda $X^{4}$ por propiedades de la potencia, se resuelven los productos de polinomios;

$Y=\frac{X^{2}- (2X^{2}+10X)}{X^{4}}$

$Y=\frac{X^{2}- 2X^{2}-10X}{X^{4}}$

$Y=\frac{- X^{2}-10X}{X^{4}}$ aplicamos factor común y simplificamos

$Y=\frac{X(- X-10)}{X^{4}}$

$Y=\frac{(- X-10)}{X^{3}}$

4.- $Y= \sqrt{X^{3}}-5$

$Y= {(\sqrt{X^{3}})}'-{5}'$

se transforma la raíz a potencia, y se resuelve la derivada por la propiedad de la potencia

$Y= {(X^{3})^{\frac{1}{2}}}'-{5}'$

$Y= {\frac{1}{2}(X^{3})^{\frac{1}{2}-1}}.({X^{3}})'-{5}'$

$Y= {\frac{1}{2}(X^{3})^{\frac{-1}{2}}.(3X^{2})-0$

$Y= \frac{1}{2}.\frac{3X^{2}}{\sqrt{X^{3}}}$

5.- $Y= Ln (X^{2})$

Por propiedad de los logaritmos queda;

$Y= \frac{1}{X^{2}}.{(X^{2})}'$

$Y= \frac{1}{X^{2}}.2(X^{2-1})$

$Y= \frac{2X}{X^{2}}$ simplificamos

$Y= \frac{2}{X}$

6.- $Y= Log (X+3)$

la propiedad de un log es;

$Log_{b}u= \frac{{u}'}{u}.\frac{1}{Ln(b)}$ donde $\frac{1}{Ln(b)}=Log_{b}e$ entonces;

$Y= \frac{({X+3})'}{X+3}.\frac{1}{Ln(10)}$

$Y= \frac{({1+0})}{X+3}.\frac{1}{Ln(10)}$

$Y= \frac{1}{X+3}.\frac{1}{Ln(10)}$

como $\frac{1}{Ln(10)}= log_{10} (e)$ sustituimos

$Y= \frac{1}{X+3}.log_{10}(e)$

$Y= \frac{log_{10}(e)}{X+3}$

En el caso de las derivadas de funciones trigonométricas y exponenciales te recomendamos visitas las paginas dedicadas a estos dos temas.