Ecuaciones diferenciales ordinarias

Las ecuaciones diferenciales son un tipo de ecuación en la que se establece una relación entre una o más variables independientes, una función incógnita y sus derivadas. A continuación vamos a definir las singularidades relacionadas a una ecuación diferencial ordinaria (EDO), sus tipos y soluciones que te permitirán deducir cuando aplicar un método u otro para encontrar su solución correspondiente.

Ecuación diferencial ordinaria, definición y ejemplos

¿Qué es una ecuación diferencial ordinaria?, se entiende por ecuación diferencial ordinaria, toda relación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una variable independiente y carece de constantes arbitrarias.

Algunos ejemplos de las ecuaciones diferenciales ordinarias son los siguientes:

$(x+y)dx+(x-y)dy=0$ , siendo y la variable dependiente y x la variable independiente.
$y=\frac{x}{y'}+y'$ , siendo y la variable dependiente y x la variable independiente.
$\dfrac{d^{2}v}{dt^{2}}+3\dfrac{dw}{dt}=w^{3}+t^{2}$ , v,y, w son las variables dependientes y t la variable independiente.
${y}''+{y}'+y=\sin x$

En el caso de que necesites ampliar la información y encontrar más detalles acerca de cómo obtener la solución de una ecuación diferencial ordinaria hemos colocado un enlace desde donde puedes acceder a la publicación que ya hemos facilitado para ti en nuestro sitio web. El enlace hacia dicha publicación lo tienes aquí y en el botón que está en la parte de arriba con el título Ecuación diferencial ordinaria.

Solución de una ecuación diferencial

Una solución de una ecuación diferencial es toda función que sustituida en la ecuación diferencial la reduce a la identidad.

Por ejemplo podemos comprobar que la función $f(x)=xe^{x}$ es solución de la ecuación diferencial $y^{\prime \prime}-2y^{\prime}+y=0$ .
El primer paso consiste en derivar la función dos veces, con lo que se obtiene:

$y^{\prime}=xe^{x}+e^{x}$

$y^{\prime \prime}=xe^{x}+2e^{x}$

Sustituyendo la función y sus derivadas en la ecuación diferencial se obtiene

$xe^{x}+2e^{x}-2\left( xe^{x}+e^{x}\right) +\left( xe^{x}\right) =0$

lo cual es una identidad, por lo tanto, se concluye que la función $f(x)=xe^{x}$ es solución de la ecuación diferencial en el intervalo $(-\infty ,\infty)$ .

Tipos de solución de una Ecuación Diferencial

Los distintos tipos de soluciones posibles a las ecuaciones diferenciales están descritos a continuación

Solución General

La solución general de una ecuación diferencial es una relación entre variables que satisface las siguientes condiciones:

Es independiente de las derivadas
Tiene tantas constantes arbitrarias como el orden de la ecuación diferencial
Verifica o satisface la ecuación diferencial

Solución particular de una ecuación diferencial

Es cualquier solución que se obtiene a partir de la solución general, asignándoles valores numéricos a las constantes arbitrarias, según ciertas condiciones dadas sobre la variable dependiente y/o sus derivadas.

Solución singular de una ecuación diferencial

Una solución singular de una ecuación diferencial es aquella solución que NO puede obtenerse de la solución general asignándole valores específicos a las constantes arbitrarias.

Problemas de valor inicial

A través del problema de valor inicial se busca determinar una solución particular, de la ecuación diferencial asociada al caso en estudio, sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas específicas en un valor de la variable independiente. Dichas condiciones e conocen como condiciones iniciales.

Problemas de valor de frontera

Un problema de valor de frontera solo busca determinar una solución particular, de la ecuación diferencial asociada al problema concretamente. Sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas específicas en dos o más valores de la variable independiente. Dichas condiciones e conocen como condiciones de frontera.

Constante arbitraria

¿Qué es una constantes arbitraria?, las constantes arbitrarias como su nombre lo indica son un conjunto de constantes que pertenecen a un haz de curvas planas. Sin embargo, la definición matemática de una constante arbitraria también nos sugiere:

Definición de una constante arbitraria: Dado un haz de curvas planas $F(x,y,C_1,C_2,...,C_n)$ se dice que $C_1,C_2,...,C_n$ son n constantes arbitrarias , si y solo si es posible la eliminación de ellas de las n+1 relaciones siguientes:

$\left\{\begin{matrix} F\left ( x,y,C_{1},C_{2},...C_{n} \right )=0 \\ \frac{d}{dx}F\left ( x,y,C_{1},C_{2},...C_{n} \right )=0 \\ .\\ .\\ \frac{d^{n}}{dx^{n}}F\left ( x,y,C_{1},C_{2},...C_{n} \right )=0 \end{matrix}\right.$

En caso de que no sea necesario derivar hasta el orden n, para lograr la eliminación, de dice que las constantes $C_1,C_2,...,C_n$ no son todas arbitrarias. En el enlace señalado en la parte superior se puede tener acceso a una información mucho más amplia con ejemplos y ejercicios resueltos.

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales

Las ecuaciones diferenciales están expresadas de distintas formas que plantean distintos tipos de métodos de resolución.

Por lo que hacer una clasificación de los tipos de ecuaciones diferenciales resulta conveniente para una mejor comprensión de la materia y usted como estudiante pueda alcanzar los objetivos que se plantea con ella, en este caso comprenderlas para luego realizar las aplicaciones que esta tiene dentro del campo de la ciencia.

Clasificación de las ecuaciones diferenciales según el tipo de derivada que involucra

Según el tipo de derivada aplicada en la ecuación podemos clasificar las ecuaciones diferenciales en:

Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O.)

Es un tipo de ecuación diferencial en la cual aparecen derivadas ordinarias de una variable dependiente respecto a una sola variable independiente. Dicho de otra forma, se define como ecuación diferencial ordinaria toda relación entre dos variables que contiene una derivada y carece de constantes arbitrarias.

Estas son de la forma:

$\frac{dr}{d\phi }=\sqrt{r\phi}$

${y}''-4{y}'-5y=e^{3x}$

$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+ y = 0$

Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales

Las ecuaciones diferenciales de derivadas parciales son la forma:

$9\frac{\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}= 4\frac{\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}$

$\frac{\partial U}{\partial Z}= 4\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial U}{\partial y}$

Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales son el tipo de ecuación diferencial en la cual aparecen derivadas parciales, como lo puedes notar en los ejemplos dados, de una sola variable dependiente respecto a dos o más variables independientes.

Orden de una Ecuación Diferencial

El orden de una ecuación diferencial se encuentra representado por el orden, valga la expresión; de la mayor derivada que se encuentra en la ecuación dada. En otras palabras, es la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación diferencial.

Algunos de los ejemplos representados a continuación nos dan una clara ilustración de lo que acabamos de mencionar.

$(y^{2}+1)+(x^{2}+x){y}'\, =\, 0$ Primer orden
$x({y}')^{2}-2x{y}'+4x\, =\, 0$ Primer orden
${y}''+4{y}'-5y=3e^{3x}$ Segundo orden
${y}'''+2{y}''-4{y}'-5y=0$ Tercer orden

Clasificación de las ecuaciones diferenciales según el orden de la ecuación diferencial

Las ecuaciones diferenciales tienen una subclasificación que está asociada al orden de la ecuación diferencial, con lo cual haremos una descripción de cada una de ella con su respectivo enlace donde puede ampliar la información dentro de nuestra web.

Ecuación diferencial de primer orden y de primer grado de variables separadas

Ecuación diferencial de primer orden y de primer grado de variables separables

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de variables separadas y variables separables son de la forma: $Q(y)dx+P(x)dy=0$ . Para transformar dicha ecuación diferencial en una de variables separadas solo es necesario multiplicar la ecuación por un factor $\frac{1}{P(x)Q(y)}$

Ecuación diferencial de primer orden y de primer grado homogénea

Estas son de primer orden y tienen la forma: $Q(x,y)dx+P(x,y)dy=0$ . Si las funciones P(x,y) y Q(x,y) son homogéneas con igual grado de homogeneidad, la ecuación es homogénea. Las reducibles requieren de métodos matemáticos simples para su resolución y son de la forma: $(a_{1}x+b_{1}y+c_{1})dx +$ $(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})dy=0$

Ecuación diferencial de primer orden y de primer grado reducible a homogénea

Ecuación diferencial de primer orden y de primer grado exacta

Ecuación diferencial de primer orden y de primer grado reducible a exacta

Ecuación diferencial de primer orden y de primer grado lineal

Ecuación diferencial de primer orden y de primer grado reducible a lineal

Grado de una Ecuación de Diferencial

El grado de una ecuación diferencial es el exponente de la derivada de mayor orden en la ecuación dada. En otras palabras, el grado lo determina la potencia a la cual esta elevada la derivada de mayor orden de la ecuación diferencial.

Algunos ejemplos como los presentados a continuación facilitaran la comprensión de lo que hasta el momento hemos dicho sobre el grado de la ecuación diferencial.

Grado de las Ecuaciones Diferenciales Ejemplos

$\left ( \frac{\partial ^{3}v}{\partial s^{3}} \right )^{2}+\left ( \frac{\partial ^{2}v}{\partial s^{2}} \right )^{3}= s-3t$ Grado 2

$\frac{d^{2}x}{dy^{2}}+\sin x+\left ( \frac{dx}{dy} \right )^{3}= 0$ Grado 1

$y= \frac{x}{{y}'}+{y}'$ Grado 2

Tipos de Ecuaciones Diferenciales Según el Grado de la Ecuación Diferencial

El grado de una ecuación diferencial puede determinar el tipo de resolución que esta pueda tener, debido a que el grado influye en la forma de la ecuación o el tipo de la ecuación diferencial.

Por lo que resulta conveniente aclarar la definición del grado de una ecuación diferencial y los distintos tipos de ecuaciones que existen según el grado.