Constantes arbitrarias con ejercicios resueltos

En las ecuaciones diferenciales, el uso de las constantes arbitrarias se vuelve esencial para el desarrollo y comprensión del tema. Con lo cual; consideremos prudente dedicar un espacio exclusivo para hablar de ellas y realizar algunos ejercicios donde podamos afianzar los conocimientos y dominio acerca de la constante arbitraria en ecuaciones diferenciales.

¿Qué es una constante arbitraria?

Las constantes arbitrarias como su nombre lo indica son un conjunto de constantes que pertenecen a un haz de curvas planas. Sin embargo, la definición matemática de una constante arbitraria también nos sugiere lo siguiente:

Dada $F(x,\, y,\, C_1,\, C_2,\, ...,C_n)=0$ , entonces $C_1,\, C_2,\, ...,C_n$ son $n$ constantes arbitrarias de F, si y solo sí; es posible su eliminación empleando la ecuación n+1 del sistema de ecuaciones siguientes:

$\left\{\begin{matrix} F\left ( x,y,C_{1},C_{2},...C_{n} \right )=0 \\ \frac{d^{2}}{dx^{2}}F\left ( x,y,C_{1},C_{2},...C_{n} \right )=0 \\ .\\ .\\ \frac{d^{n}}{dx^{n}}F\left ( x,y,C_{1},C_{2},...C_{n} \right )=0 \end{matrix}\right.$

$\frac{d^{n}}{dx^{n}}F\left ( x,y,C_{1},C_{2},...C_{n} \right )=0$

$\frac{d^{n}}{dx^{n}}F=0\, \Leftarrow$ si no hace falta entonces $C_1,\, C_2,\, ...,C_n$ no son constantes arbitrarias.

A continuación vamos emplear una serie de ejercicios de eliminación de constantes arbitrarias, el propósito de estos ejercicios es facilitar la comprensión de lo que hasta ahora hemos vistos.

Ejemplo, verificar que las siguientes constantes sean constantes arbitrarias

$y=C_1 e^{x}+C_2 y^{2}+x^{3}$

El primer paso que haremos para determinar si las siguientes constantes son o no arbitrarias será derivar tantas veces como posibles contantes arbitrarias haya.

Para el ejemplo que desarrollaremos a continuación tendríamos que derivar dos veces.

Primera derivada en función de x

${y}'=C_1 e^{x}+2C_2 y{y}'+3x^{2}$

Segunda derivada en función de x

${y}''=C_1 e^{x}+2C_2 ({y}')^{2}+2C_2 y{y}''+6x$ (2)

Despejando $c_1$ de la primera ecuación.

$c_1=\frac{y-C_2y^{2}-x^{3}}{e^{x}}$

Sustituyendo $c_1$ en la ecuación (2)

${y}'=(\frac{y-C_2y^{2}-x^{3}}{e^{x}}) e^{x}+2C_2 y{y}'+3x^{2}$

Inmediatamente podemos notar que $e^{x}$ se elimina de la ecuación además de ver que ya no está la constante $c_1$ , ya hemos eliminando una constante. Ahora vamos por la siguiente.

${y}'=y-C_2y^{2}-x^{3} +2C_2 y{y}'+3x^{2}$

Despejando ahora $C_2$

$C_2=\frac{{y}'-y+x^{3}-3x^{2}}{(2y{y}'-y^{2})}$

Sustituyendo $C_2$ y $C_1$ en 3

${y}''=(\frac{y-C_2y^{2}-x^{3}}{e^{x}}) e^{x}+2(\frac{{y}'-y+x^{3}-3x^{2}}{(2y{y}'-y^{2})}) ({y}')^{2}+2(\frac{{y}'-y+x^{3}-3x^{2}}{(2y{y}'-y^{2})}) y{y}''+6x$

Hemos empleado 3 ecuaciones para eliminar las dos constantes arbitrarias que teníamos en la ecuación. Evidentemente estamos afirmando de que las constantes $C_2$ y $C_1$ son arbitrarias.

Ahora vamos con un ejemplo mucho más sencillo.

Ejercicios con constantes arbitrarias

Determinar si $C_2$ , $C_1$ , $C_3$ y $C_4$ ) son constantes arbitrarias de la siguiente ecuación.

$y=C_1x^{3}+C_2x^{2}+C_3x+C_4$

Como en el ejemplo anterior, derivamos tantas veces como constantes existan

Ecuación inicial o ecuación 1

$y=C_1x^{3}+C_2x^{2}+C_3x+C_4$

Primera derivada respecto a x

${y}' =3C_1x^{2}+2C_2x^+C_3$

Segunda derivada respecto a x

${y}'' =6C_1x+2C_2$

Tercera derivada respecto a x

${{y}'}'' =6C_1$

Cuarta derivada respecto a x

$y^{''''} =0$

Como podemos ver, llegamos a hasta ecuación $n+1$, es decir, la quinta ecuación para poder eliminar las cuatro constante arbitrarias que teníamos.

A continuación, vamos con algunos ejemplos de constantes que no son arbitrarias.

Comprobar que las siguientes constantes son arbitrarias

Aplicaciones de las constantes arbitrarias en problemas geometricos

Ejemplo 1

Hallar la E.D.O asociada al haz de curvas $y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}+2x$
Solución
Debido a que el haz de curvas dado tiene 2 constantes esenciales se deriva dos veces respecto de x, obteniéndose el siguiente sistema:

$\left\{\begin{matrix} y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}+2x\\ y^{\prime}=c_{1}e^{x}-c_{2}e^{-x}+xe^{x}+2 \\y^{\prime \prime}=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x} \end{matrix}\right.$

Para eliminar las constantes del sistema se resta a la primera ecuación la tercera con lo que se obtiene la ecuación diferencial:

$y-y^{\prime \prime}=2x$

Observe que $c_{1}$ y $c_{2}$ son dos constantes arbitrarias esenciales, ya que fue necesario derivar dos veces para eliminarlas. Así mismo, se debe notar que la relación dada satisface la E.D.O y por tanto es solución de la misma.

Ejemplo 2

Obtener la E.D.O asociada al haz de curvas $y=c_{1}e^{c_{2}+x}$ y compruebe si las dos constantes son esenciales

Solución:

Derivando respecto de x se obtiene:
$y^{\prime}=c_{1}e^{c_{2}+x}$

Observe al derivar una vez se obtiene la misma función y, por lo tanto la ecuación diferencial asociada es
$y^{\prime}=y$

Note que solo fue necesario derivar una vez (y no dos veces como indicaría la presencia de dos constantes) para eliminar las constantes y obtener la E.D.O. Esto ocurre porque realmente hay una sola constante arbitraria esencial, ya que se puede descomponer la relación dada de la siguiente manera

$y=c_{1}e^{c_{2}+x}$

Por propiedades de las potencias
$y=c_{1}e^{c_{2}}e^{x}$
La cual se puede escribir de la siguiente manera
$y=Ce^{x}$
Siendo C una constante arbitraria esencial $C=c_{1}e^{c_{2}}$ . Así pues, podemos concluir que $c_{1}$ y $c_{2}$ no son esenciales, por cuanto se pudieron remplazar por una sola constante.

Ejemplo 3

Obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de rectas que pasan por el punto A(-2,1)

Hay infinitas rectas que pasan por el punto A(-2,1), en la Figura se pueden ver algunos miembros de la familia, la ecuación de la familia de rectas viene dada por:

$y-1=m(x+2)$ (1)

Como se observa en la Figura lo que varía en cada recta es la pendiente m.

haz-de-curvas-constantes-arbitrarias

Como hay solo una constante esencial, se deriva una vez la ecuación del haz de rectas, obteniéndose
$y^{\prime}=m$ (2)

Al sustituir la ecuación (2) en (1) se obtiene la E.D.O asociada a la familia de rectas dada
$y-1=y^{\prime}(x+2)$

Ejemplo 4:

Determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de circunferencias que pasan por el origen y tienen centro sobre el eje $x$

En la figura 2 se puede observar algunas curvas de la familia de circunferencias con centro en el eje $x$ y que pasan por el origen.

Haz de circunferencia — Figura 2. Familia de circunferencias

Como observamos hay infinitas circunferencias con centro en el eje $x$ que pasan por el punto $\left ( 0, 0 \right )$ , en la Figura 1 se pueden ver algunos miembros.

Ahora te mostraremos un ejemplo resuelto eliminación de constantes esenciales y los pasos para hallar la E.D.O asociada a una familia de curvas

Paso 1: Determinar la ecuación del haz

Debemos determinar la ecuación de la familia de circunferencias, para ello se emplea la ecuación ordinaria que viene dada por:

$\left( x-h\right)^{2} + \left( y-k\right)^{2} = r^{2}$

Siendo $C(h,k)$ las coordenadas del centro y $r$ el radio. Debido a que el centro esta sobre el eje $x$ , se tiene que $k = 0$ , sustituyendo en (1) obtenemos

$\left( x-h\right)^{2} + \left( y\right)^{2} = r^{2}$

para relacionar $h$ y $r$ , se sustituye el origen en la ecuación (2), obteniéndose

$\left ( 0 - h \right )^{2} + \left ( 0 \right )^{2} = r^{2}$

por lo tanto

$h^{2} = r^{2}$

la ecuación de la familia de circunferencias depende de una constante esencial $h$ , observe que al sustituir (3) en la ecuación (2) se tiene

$\left ( x - h \right )^{2} + \left ( y \right )^{2} = h^{2}$

desarrollando y simplificando se tiene

$x^{2} - 2hx + y^{2}=0$

Con lo que hemos obtenido la ecuación de la familia de circunferencias.

Paso 2: Derivar el haz de curvas

Como hay solo una constante esencial, se deriva una vez la ecuación de la familia de circunferencias.
Derivando implícitamente la ecuación (4) obtenemos

$2x - 2h + 2yy^{\prime} = 0$

Paso 3:Eliminar las constantes esenciales

para eliminar la constante arbitraria, se despeja $ h $ de la ecuación (5)

$2h = 2x+ 2yy^{\prime}$

y se sustituye (6) en la ecuación del haz de curvas (4), obteniéndose

$x^{2} - \left ( 2x + 2y{y}' \right )x + y^{2} = 0$

desarrollando y simplificando obtenemos la ecuación diferencial

$y^{2} - x^{2} - 2xy{y}' = 0$

Con esto hemos determinado la E.D.O asociada a la familia de circunferencias con centro en el eje $x$ y que pasan por el origen.

Observación adicional:

La E.D.O obtenida es de primer orden, grado 1 y no lineal.

Ejercicios propopuestos de eliminación de contanstes esenciales

Hallar la ecuación diferencial asociada al haz de curvas dado:
1. $y=e^{mx}[C_{1}\cos (nx)+C_{2}sen(nx)]$
2. $y=\dfrac{Cx-x-1}{C+x+1}$
3. $ C_{1}\ln \left( \dfrac{y}{e^{x}}\right) +C_{1}C_{2}e^{x}+10=0 $
4. Rectas tangentes a la circunferencia $ x^{2}+y^{2}=1 $.

Esperamos que esta información haya sido de tú agrado, no olvides practicar y recuerda calificar nuestra publicación aquí abajo; por último si quieres ver otros problema propuestos y resuelto de obtención de una E.D.O por eliminación de constantes esenciales haz click aquí.