Ejercicios resueltos de factor integrante

A continuación se presentan una serie de ejercicios que servirán para afianzar los conocimientos adquiridos mediante la explicación y estudio del factor integrante.

Para este particular nos enfocaremos en la resolución de una ecuación diferencial reducible a exacta.

PASOS PARA DETERMINAR UN FACTOR INTEGRANTE DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL NO EXACTA

Ejemplo 2

Resolver la E.D.O

$\left ( 3x^{3}y + y \right )dx + \left ( y^{2} - x^{3} \right )dy = 0$

Solución:

Paso 1: Identificar si la ecuación diferencial dada es exacta:

Observe que esta ecuación diferencial no es exacta, ya que sus derivadas parciales son distintas

$\frac{\partial P}{\partial y} = 3x^{2} + 2y$ y $\frac{\partial Q}{\partial x} = -3x^{2}$

Paso 2: Probar si la ecuación diferencial admite un factor integrante.

Primero probaremos si admite un factor integrante que depende de $x$

$f(x) = \frac{3x^{2} + 2y - \left ( -3x^{2} \right )}{y^{2} - x^{3}} = \frac{2\left ( 3x^{2} + y \right )}{y^{2} - x^{3}}$

La E.D.O no admite un factor integrante de $x$ , ya que $f$ no depende solo de $x$ , entonces probamos si la E.D.O admite un factor integrante de $y$ .

$f(y) = \frac{2\left ( 3x^{2} + y\right )}{-\left ( 3x^{2}y + y^{2} \right )} = \frac{2\left ( 3x^{2} + y \right )}{-y\left ( 3x^{2} + y \right )} = -\frac{2}{y}$

se concluye entonces que la E.D.O admite un factor integrante de $y$ , ya que $f$ es una función que depende solo de $y$ .

Paso 3: Determinar el factor integrante $\mu$ .

Determinando el factor integrante $\mu(y)$ se tiene que

$\mu(y) = e^{\int \frac{-2}{y}dy} = e^{-2\ln y} = e^{\ln y^{-2}} = \frac{1}{y^{2}}$

Paso 4: Multiplicar la E.D.O por el factor integrante $\mu$ .

Multiplicando la E.D.O por el factor integrante, se obtiene

$\left ( \frac{3x^{2}}{y} + 1\right )dx + \left ( 1-\frac{x^{3}}{y^{2}} \right )dy=0$

que es una E.D.O exacta,ya que $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-3x^{2}}{y^{2}}$ y $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{-3x^{2}}{y^{2}}$ .

Paso 5: Resolver la E.D.O exacta.

Para resolver la E.D.O exacta se integra respecto a $x$ , obteniéndose

$U\left ( x,y \right ) = \int_{y=ctte}^{x}\left ( \frac{3x^{2}}{y} + 1\right )dx + h\left ( y \right )$

Al separar las integrales se observa que ambas son inmediatas

$U\left ( x,y \right ) = \frac{3}{y}\int_{y=ctte}^{x}x^{2}dx + \int_{y=ctte}^{x}dx + h\left ( y \right ) = \frac{x^{3}}{y}+x+h\left ( y \right )$

para determinar $h\left ( y \right )$ , se tiene que $\frac{\partial U}{\partial y} = Q$ por lo tanto

$-\frac{x^{3}}{y^{2}} + {h}'\left ( y \right ) = 1 - \frac{x^{3}}{y^{2}}$

despejando e integrando para obtener $h\left ( y \right )$

$h\left ( y \right ) = \int dy = y$

finalmente la solución general es

$\frac{x^{3}}{y}+x+y=C$

Ejemplo 3

Determinar la solución general de la E.D.O

$\left ( y + x^{3}y + 2x^{2} \right )dx + \left ( x + 4xy^{4} + 8y^{3}\right )dy = 0$

Solución:

Paso 1: Identificar si la ecuación diferencial dada es exacta:

Observe que esta ecuación diferencial no es exacta, ya que sus derivadas parciales son distintas

$\frac{\partial P}{\partial y} = x^{3} + 1$ y $\frac{\partial Q}{\partial x} = 1 + 4y^{4}$

Ahora procederemos a buscar un factor integrante que transforme la ecuación diferencial a exacta.

Paso 2: Probar si la ecuación diferencial admite un factor integrante.

Primero probaremos si admite un factor integrante que depende de $x$

$f\left ( x \right ) = \frac{x^{3} + 1 - \left ( 1 + 4y^{4} \right )}{x + 4xy^{4} + 8y^{3}} = \frac{x^{3} - 4y^{4}}{x + 4xy^{4} + 8y^{3}}$

La E.D.O no admite un factor integrante de $x$ , ya que $f$ no depende solo de $x$ , entonces probamos si la E.D.O admite un factor integrante de $y$ .

$f\left ( y \right ) = \frac{x^{3} - 4y^{4}}{-\left ( y + x^{3}y + 2x^{2} \right )}$

La E.D.O tampoco admite un factor integrante de $y$ , observe que si probamos con $v = xy$ se tiene:

$f\left ( xy \right ) = \frac{x^{3} - 4y^{4}}{y\left ( x + 4xy^{4} + 8y^{3} \right )-x\left ( y + x^{3}y + 2x^{2} \right )}$

factorizando y simplificando se obtiene

$f\left ( xy \right ) = \frac{x^{3} - 4y^{4}}{-\left ( xy + 2 \right )\left ( x^{3} + 4y^{4} \right )} = \frac{-1}{xy + 2}$

se concluye entonces que la E.D.O admite un factor integrante que depende de $xy$ .

Paso 3: Determinar el factor integrante $\mu$ .

Determinando el factor integrante $\mu \left ( xy \right )$ se tiene que

$\mu \left ( xy \right ) = e^{\int \frac{-1}{xy + 2}d\left ( xy \right )} = e^{-\ln \left ( xy + 2 \right )} = e^{\ln \left ( xy + 2 \right )^{-1}} = \frac{1}{xy + 2}$

Paso 4: Multiplicar la E.D.O por el factor integrante $\mu$ .

Multiplicando la E.D.O por el factor integrante y simplificando, se obtiene

$\left ( x^{2} + \frac{y}{xy + 2}\right )dx + \left ( 4y^{3} + \frac{x}{xy + 2}\right )dy = 0$

que es una E.D.O exacta, ya que $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{2}{\left ( xy + 2 \right )^{2}}$ y $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{2}{\left ( xy + 2 \right )^{2}}$ .