Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales homogéneas

A continuación te mostramos en este post un ejercicio resuelto de E.D.O Homogénea de primer orden y los pasos para hallar su solución general.

Si quieres ver los conceptos básicos o el cambio de variable del método para hallar la solución general de una ecuación diferencial homogénea haz click aquí.

Te invitamos a seguir leyendo y tomar lápiz y papel para que ejercites los pasos necesarios para resolver una EDO homogénea de primer orden .

Pasos para hallar la solución a ejercicios de ecuaciones diferenciales homogéneas.

Ecuaciones diferenciales homogéneas problema resuelto

Determinar la solución general de la siguiente E.D.O y + xcos^{2}\left(\dfrac{y}{x} \right) = x{y}'

Ecuación diferencial Homogénea, pasos para resolver un ejercicio

Solución:
Antes de aplicar los pasos se debe ordenar de la siguiente forma
\left[ y+xcos^{2}\left(\dfrac{y}{x} \right)\right] dx - xdy = 0

Paso 1: Identificar si es una E.D.O homogénea

P(\lambda x, \lambda y)= (\lambda y)+(\lambda x)cos^{2}\left( \dfrac{\lambda y}{\lambda x}\right) = \lambda\left[ y+xcos^{2}\left(\dfrac{y}{x}\right) \right], función homogénea de grado 1
Q(\lambda x, \lambda y) = (\lambda x), función homogénea de grado 1
Por lo tanto la E.D.O es homogénea de grado 1.

Paso 2: Multiplicar la E.D.O por \dfrac{1}{x^{n}}, siendo n el grado

en este caso n = 1 , por lo tanto se multiplica la E.D.O por \dfrac{1}{x} obteniéndose
\left[ \dfrac{y}{x} + cos^{2}\left(\dfrac{y}{x} \right)\right] dx - dy = 0

Paso 3: Aplicar el cambio de variable

v = \dfrac{y}{x}, siendo y = xv, por lo tanto derivando se tiene que dy = vdx + xdv. Sustituyendo en la E.D.O
\left[ v+cos^{2}(v) \right]dx - \left( vdx+xdv\right) = 0

Desarrollando y agrupando se obtiene

cos^{2}(v) dx - xdv = 0

la cual es una ecuación diferencial de variables separables, separando las variables

\dfrac{1}{x}dx + \left( \dfrac{1}{cos^{2}(v)}\right) dv = 0

Integrando cada término, se puede notar que ambas integrales son inmediatas

\displaystyle{\int}\dfrac{1}{x}\, dx + \displaystyle{\int}sec^{2}(v)\, dv = C

Obteniéndose

\ln|x|+tg\left( v\right) = C

Paso 4: Devolver el cambio de variable

Devolvemos el cambio de variable aplicado para obtener la solución general de la ecuación diferencial dada.

\ln|x| + tg\left( \dfrac{y}{x}\right) = C

Ejemplo # 2 de EDO homogénea

Determina la solución general de la siguiente E.D.O (4x^{3}+y^{3})dx+\left( 3xy^{2}-8y^{3}\right)dy =0

Solución:

Paso 1: Identificar si es una E.D.O homogénea

P(\lambda x, \lambda y)= 4(\lambda x)^{3}+(\lambda y)^{3}= \lambda^{3}(4x^{3}+y^{3}), función homogénea de grado 3 Q(\lambda x, \lambda y)= 3(\lambda x)(\lambda y)^{2}-8(\lambda y)^{3}= \lambda^{3}\left( 3xy^{2}-8y^{3}\right), función homogénea de grado 3 Por lo tanto la E.D.O es homogénea de grado 3.

Paso 2: Multiplicar la E.D.O por \dfrac{1}{x^{n}}, siendo n el grado

en este caso n=3, por lo tanto se multiplica la E.D.O por \dfrac{1}{x^{3}} obteniéndose  \left( 4+\dfrac{y^{3}}{x^{3}}\right) dx+\left( 3\dfrac{y^{2}}{x^{2}}-8\dfrac{y^{3}}{x^{3}}\right) dy=0  

Paso 3: Aplicar el cambio de variable

v=\dfrac{y}{x}, siendo y=xv, por lo tanto derivando se tiene que dy=vdx+xdv. Sustituyendo en la E.D.O  \left( 4+v^{3}\right)dx +\left(3v^{2}-8v^{3}\right)\left( vdx+xdv\right) = 0\left(4+v^{3}\right)dx+\left(3v^{2}-8v^{3}\right)\left(vdx+xdv\right)=0   Desarrollando el producto y agrupando se obtiene  \left( 4+4v^{3}-8v^{4}\right)dx+x\left(3v^{2}-8v^{3}\right)dv=0 la cual es una ecuación diferencial de variables separables, separando las variables \dfrac{1}{x}dx+\left(\dfrac{3v^{2}-8v^{3}}{4+4v^{3}-8v^{4}}\right)dv=0 Integrando cada término, se puede notar que ambas integrales son inmediatas \displaystyle{\int}\dfrac{1}{x}\,dx+\dfrac{1}{4}\displaystyle{\int}\left(\dfrac{3v^{2}-8v^{3}}{1+v^{3}-2v^{4}}\right)\,dv=C   Obteniéndose Ln|x|+\dfrac{1}{4}Ln|1+v^{3}-2v^{4}|=C   Utilizando propiedades del logaritmo la solución puede expresarse de la siguiente forma x^{4}\left(1+v^{3}-2v^{4}\right)=k  

Paso 4: Devolver el cambio de variable

Devolvemos el cambio de variable para obtener la solución general de la ecuación diferencial dada.  x^{4}\left[1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{3}-2\left(\dfrac{y}{x}\right)^{4}\right]=k   Finalmente desarrollando y simplificando se tiene la solución general  x^{4}+xy^{3}-2y^{4}=k   Esperamos que esta información haya sido de tú agrado, no olvides practicar y recuerda calificar nuestra publicación aquí abajo; por último si quieres ver otros problemas propuestos y resueltos de las E.D.O homogéneas haz click aquí.

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