Ley de Enfriamiento de Newton con ejercicios resueltos

En primer lugar hablaremos de lo que establece la Ley de Enfriamiento de Newton y la ecuación diferencial que esta asociada al enfriamiento de una sustancia, para luego resolver un ejemplo.

Ley de Enfriamiento de Newton

Establece que la variación de temperatura superficial que experimenta un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio que lo rodea, es decir $\dfrac{dT}{dt}=k(T-T_{A})$ donde T es la temperatura del cuerpo en un instante de tiempo t, $T_{A}$ es la temperatura del ambiente constante y k la constante de proporcionalidad. Así mismo debemos conocer la lectura de la temperatura del cuerpo en dos instantes diferentes, ya que hay dos constantes que tenemos que determinar: la constante de proporcionalidad k y la constante de integración. En consecuencia tendremos entonces un problema de valor de frontera

$\left\{\begin{matrix} \dfrac{dT}{dt}=k(T-T_{A}) \\ \\ T(0) =T_{0} \\ \\ T(t_{1}) =T_{1} \end{matrix}\right.$

Finalmente la solución del problema de valor de frontera nos permite obtener la ley de variación de la temperatura en función del tiempo.

Ejercicios resueltos de la ley de enfriamiento de Newton

Ejemplo 1:

Agua a temperatura de 100º C se enfría en 10 minutos a 80º C, en un cuarto cuya temperatura es de 25º C. Encuentre la temperatura del agua después de 20 minutos. ¿Cuándo tardará en enfriarse a 40º C?

Solución

De acuerdo con la Ley de Enfriamiento de Newton, la ecuación diferencial asociada a problemas de enfriamiento es $\dfrac{dT}{dt}=k(T-T_{A})$

La ecuación diferencial debe resolverse sujeta a dos condiciones

En primer lugar la primera condición conocida es que para el tiempo $t_{0} = 0 min$ , la temperatura del agua es $T_{0} = 100 °C$ . En segundo lugar la segunda condición dada es que para el tiempo $t_{1} = 10 min$ , la temperatura del agua es $T_{1} = 80^{o}C$ . Además, la temperatura del ambiente donde debe enfriarse el agua es $T_{A} = 25^{o}C$ . $\dfrac{dT}{dt}=k(T-25)$ Es importante que observemos que la E.D.O es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables, multiplicamos la E.D.O por el factor $\dfrac{1}{T-25}$ , obteniéndose: $\dfrac{1}{T-25}dT=kdt$ integramos ambos miembros de la ecuación

$\int\left( \dfrac{1}{T-25}\right) dT=k\int dt$

Ambas integrales son inmediatas y al resolverlas obtenemos

$Ln\left( T-25\right) = kt + C$

Determinando el valor de la constante de integración resultante

Para determinar el valor de la constante de integración C, se utiliza la condición $T (0) = 10$ , es decir, se sustituye en la solución general t=0 y T = 100 , obteniendo $C = Ln (75)$ ; este valor de C se sustituye en la solución general $Ln\left( T-25\right) = kt + Ln(75)$ despejando k

$k= \frac{1}{t}Ln\left( \dfrac{T-25}{75}\right)$

Hallando el valor de la constante k

Además para determinar el valor de la constante de proporcionalidad k, utilizamos la condición T(10) = 80 °C, es decir, sustituimos en la ecuación t = 10 min y T = 80 °C, obteniendo

$k= \frac{1}{10}Ln\left( \dfrac{11}{15}\right)$

sustituyendo en la solución general se obtiene

$Ln\left( T-25\right) =\frac{1}{10}Ln\left( \dfrac{11}{15}\right) t + Ln(75)$

Si despejamos T obtenemos la ley de variación de la temperatura del agua T en cualquier instante t.

$T=25+75\left( \dfrac{11}{15}\right) ^{\left( \dfrac{t}{10}\right) }$

Hallar el valor de la temperatura a los 20 minutos

Para obtener la temperatura al cabo de 20 minutos, sustuimos t = 20 en la ecuación y se obtiene T(20 min)= 65,33°C.

Calcular el tiempo que debe transcurrir para que la temperatura llegue a los $40°C$

Del mismo modo, para determinar el tiempo que debe transcurrir para que la temperatura del agua llegue a 40 °C, sustituimos T = 25 en la ecuación

$40=25+75\left( \dfrac{11}{15}\right) ^{\left( \dfrac{t}{10}\right) }$

A continuación despejamos el valor de t, obteniéndose

$t=10\dfrac{Ln\left( \dfrac{1}{5}\right) }{Ln\left( \dfrac{11}{15}\right) }=51,89 min$

es por ello que, el agua demora 51,94 min, es decir 51 min y 56 seg, en enfriarse de 100 °C a 40 °C.

¿Quieres mas ejemplos con ejercicios de resueltos de la Ley de Enfriamiento de Newton? Revisa los problemas propuestos y resueltos que te planteamos a continuación.

Ejercicios propuestos

1. La temperatura del agua colocada en una habitación que se encuentra a 25 °C baja de 100 °C a 80 °C en 10 minutos. a) Determinar la temperatura del agua al cabo de 50 min. b) ¿ Cuándo la temperatura del agua será 65 °C?. c) ¿Cuándo será igual a 30 °C?
R: $T(50) = 41^{\circ}C$ ; $t = 20,28 \text{min}$ ; $t = 87,35 \text{min}$
2. Una sustancia es retirada de un horno y llevada a un área de enfriamiento que mantiene una temperatura estable de 43°C, a los 15 y 30 minutos después de haberse iniciado el enfriamiento se realizaron dos registros de temperatura, que arrojaron como resultado 285°C y 252 °C, respectivamente. Determinar:
a) La temperatura inicial de la sustancia. R: $T = 323.21^{\circ}C$ .
b) En que instante la temperatura del cuerpo es de 80 °C.
R: $t = 207,22 \text{min}$

3. Un recipiente con agua se calienta hasta que hace ebullición y en ese instante se retira de la cocina y se coloca a enfriar. Al cabo de 15 minutos la temperatura es de 70 °C y 30 minutos más tarde es 40 °C. Determinar la temperatura del ambiente donde se enfría el agua y la temperatura del agua luego de 1 hora de enfriamiento.