Ecuación de Bernoulli con ejercicios resueltos paso a paso

A continuación damos paso al concepto o definición de la ecuación de Bernoulli, además de explicar el procedimiento para obtener la solución general y algunos ejercicios resueltos paso a paso.

Definición de la ecuación de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli cumple la forma ${y}'+P(x)y=Q(x)y^{n}\; \therefore n\neq 1$, $n\neq 0$ .

Siendo P(x) y Q(x) funciones de x no nulas y donde n es un número real diferente de 1 y de 0.

Pasos a seguir para para la obtención de la solución general de la ecuación de primer orden de Bernoulli

El procedimiento de reducción de la ecuación, es el siguiente:

1- Multiplicamos la ecuación por $y^{-n}$ , de la siguiente forma:

$(y^{-n}){y}'+ P(x)y(y^{-n})= Q(x)y^n(y^{-n})$

Obteniendo como resultado: $(y^{-n}){y}'+ P(x)y(y^{-n+1})= Q(x)$

2- Realizar el cambio de variable $z= y^{-n+1}\Rightarrow$ ${z}'=(-n+1)y^{-n}{y}'$

3- Multiplicamos la ecuación obtenida en el paso 1 por (-n+1) y sustituya el cambio variable indicado en el paso 2.

$z'+(-n+1)P(x)z=(-n+1)Q(x)$

que es una ecuación lineal en $ z $.

4- Resolvemos la ecuación diferencial de primer orden lineal obtenida en el paso 3.

Por consiguiente, la solución de esta ecuación lineal, en términos del factor integrante es

$\mu (x)=e^{(1-n)\int P(x)dx}$

siendo la solución general

$ze^{(1-n)\int P(x)dx}=(1-n)\int e^{(1-n)\int P(x)dx}Q(x)\, dx +C$

5- Devolvemos el cambio de variable $z=y^{1-n}$ para obtener la solución general en términos de las variables x e y, obteniéndose

$y^{1-n}=(1-n)e^{(n-1)\int P(x)dx}\int e^{(1-n)\int P(x)dx}Q(x)\, dx +Ce^{(n-1)\int P(x)dx}$

6- Despejamos “y” de ser posible

Ejercicios de la ecuación diferencial de Bernoulli resueltos paso a paso

A continuación presentamos una serie de ejercicios que te permitirá alcanzar una mejor comprensión sobre la forma de resolver las ecuaciones de Bernoulli.

Ejercicio resuelto número 1 de la ecuaciones que se reducen a lineal (Bernoulli)

Sea la ecuación ${y}'-y\cos \left ( x \right )=y^{2}\cos \left ( x \right )\left [ 1-sen \left ( x \right ) \right ]$ Determine la solución general de la ecuación de Bernoulli.

Pasos para resolver una ecuación diferencial de Bernoulli

Como ya hemos dicho, lo primero que haremos será multiplicar la ecuación de Bernoulli por $y^{-n}$ , que para efectos de nuestra ecuación es: $y^{-2}$ .

Con ello, obtenemos:

$\left ( y^{-2} \right ){y}'-\left ( y^{-2} \right )y\cos \left ( x \right )=\left ( y^{-2} \right )y^{2}\cos \left ( x \right )\left [ 1-sen \left ( x \right ) \right ]$

Simplificando la ecuación

$\left ( y^{-2} \right ){y}'-\left ( y^{-1} \right )\cos \left ( x \right )=\cos \left ( x \right )\left [ 1-sen \left ( x \right ) \right ]$

Realizando el cambio de variable $\Rightarrow z=y^{-1}$ $ \therefore $ su derivada es: $ {z}'=-y^{-2}{y}'$

Sustituyendo las nuevas variables en la ecuación:

$\left ( y^{-2} \right ){y}'-\left ( y^{-1} \right )\cos \left ( x \right )=\cos \left ( x \right )\left [ 1-sen \left ( x \right ) \right ]$

$z^{\prime }+\cos \left ( x \right )z=\cos \left ( x \right )\left [ sen \left ( x \right )-1 \right ]$

Que es una ecuación lineal de primer orden en $ z $.

Integrando esta ecuación lineal por el método explicado en la sección anterior, se obtiene:

Para determinar el factor integrante se tiene que

$\mu(x)=e^{\int cos(x)dx}=e^{ sen(x)}$

siendo la solución general

$ze^{ sen(x)}=\int e^{ sen(x)}\cos \left ( x \right )\left [ sen \left ( x \right )-1 \right ]\, dx +C$
al resolver la integral por partes se obtiene

$ze^{ sen(x)}= e^{ sen(x)}\left [ sen \left ( x \right )-2 \right ] +C$

Ahora se devuelve el cambio de variables $z=y^{-1}$ para obtener la solución general en términos de las variables x e y, obteniéndose

$y^{-1}= sen \left ( x \right )-2 +Ce^{ -sen(x)}$

Problema resuelto 2

Obtenga la solución general de:

$x^{2}{y}'+xy+\sqrt{y} = 0$

Solución

En la teoría ya hemos hablado de las características típicas de una ecuación diferencial lineal que se reduce y adopta la forma de la Ecuación de Bernoulli. Con lo cual, te sugiero que hagas clic aquí para que veas la teoría (el enlace se abrirá en una nueva pestaña para que no pierdas de vista el ejercicio y tengas la teoría a la mano), y sigamos con la resolución de ejercicio.

ALERTA DE SPOILLER

No me detendré a hablar de las operaciones simples matemáticas que hagamos al resolver este ejercicio.

Primer paso

Aún no está definida la ecuación para ser resuelta por el método de la ecuación de Bernoulli, con lo cual, haremos un pequeño artificio matemático para lograr su transformación.

Multiplicamos toda la ecuación por $\frac{1}{x^{2}}$ para que nos quede la ecuación de la siguiente forma:

${y}'+\frac{y}{x}+\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{2}} = 0$

Multiplicamos la ecuación por $y^{-n}$ que para este caso en particular es: $y^{-\frac{1}{2}}$

Quedando:

$y^{-\frac{1}{2}}{y}'+\frac{1}{x}y^{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{x^{2}}$

Segundo paso

Realizamos el cambio de variable

$\left\{\begin{matrix} z=y^{\frac{1}{2}} & & \\ & & \\ {z}'=\frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}{y}' & \Rightarrow & y^{-\frac{1}{2}}{y}' = 2{z}' \end{matrix}\right.$

Nuestras nuevas variables ahora la sustituimos en la ecuación diferencial y nos queda:

$2{z}'+\frac{1}{x}z = -\frac{1}{x^{2}}$

Simplificando

${z}'+\frac{1}{2x}z = -\frac{1}{2x^{2}}\left\{\begin{matrix} E.D.\, Lineal\, en\, z & \end{matrix}\right.$

A partir de este punto, empezamos la resolución de la ecuación diferencial lineal

Tercer paso

Buscamos un factor integrante para resolver la E.D.O lineal

Para determinar el factor integrante se tiene que

$\mu(x) = e^{\displaystyle{\int} \frac{1}{2x}\, dx } = e^{ \frac{1}{2}Ln(x)} = e^{ Ln(x)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{x}$

siendo la solución general

$z\sqrt{x}=\int \sqrt{x}\left(-\dfrac{1}{2x^{2}}\right)dx +C =-\dfrac{1}{2}\int x^{-\frac{3}{2}} dx + C$

al resolver la integral inmediata se obtiene

$z\sqrt{x} = x^{-\frac{1}{2}} + C$

Cuarto paso

Devolver el cambio de variable

Devolver el cambio de variables $z = y^{\frac{1}{2}}$ para obtener la solución general en términos de las variables $x$ e $y$ , obteniéndose

$y^{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{x}+\dfrac{C}{\sqrt{x}}$

Problema Resuelto 3

Obtenga la solución general de:

$2xyy^{\prime }+\left( x+1\right) y^{2}=e^{-x}sen\left( 2x\right)$

Solución

En la teoría ya hemos hablado de las características típicas de una ecuación diferencial de Bernoulli. Como se puede observar el primer paso es ordenar la ecuación diferencial para que esta tenga la forma de una E.D.O de Bernoulli, para ello se multiplica por $\dfrac{1}{2xy}$ , obteniéndose

$y^{\prime }+\left( \dfrac{x+1}{2x}\right) y=\dfrac{e^{-x}sen\left( 2x\right)}{2x}y^{-1}$

con $n=-1$ .

Primer paso

Multiplicar la ecuación por $y^{-n}=y$ , para transformarla en:

$yy^{\prime }+\left( \dfrac{x+1}{2x}\right) y^{2}=\dfrac{e^{-x}sen\left( 2x\right)}{2x}$

Segundo paso

Realizamos el cambio de variable

$z=y^{2}$ ,
$z^{\prime }=2yy^{\prime } $, con $ yy^{\prime }=\dfrac{z^{\prime }}{2}$ , sustituyendo en la ecuación y ordenando se obtiene:

$z^{\prime }+\left( \dfrac{x+1}{x}\right) z=\dfrac{e^{-x}sen\left( 2x\right)}{x}$

que es una ecuación lineal en z.

A partir de este punto, empezamos la resolución de la ecuación diferencial lineal

Tercer paso

Buscamos un factor integrante para resolver la E.D.O lineal

Para determinar el factor integrante se tiene que

$\mu(x)=e^{\displaystyle{\int} \left( \dfrac{x+1}{x}\right)\, dx }=e^{\displaystyle{\int} \left(1+ \dfrac{1}{x}\right)\, dx }=e^{ x+Ln(x)}=e^{ Ln(x)}e^{x}=xe^{x}$

siendo la solución general

$zxe^{x}=\int xe^{x}\left( \dfrac{e^{-x}sen\left( 2x\right)}{x}\right) \, dx +C = \int sen\left( 2x\right) \, dx +C$

al resolver la integral inmediata se obtiene

$zxe^{x}= -\dfrac{cos\left( 2x\right)}{2} +C$

Cuarto paso

Devolver el cambio de variable

Devolver el cambio de variables $z=y^{2}$ para obtener la solución general en términos de las variables x e y, obteniéndose

$y^{2}xe^{x}= -\dfrac{cos\left( 2x\right)}{2} +C$