Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

A continuación te mostraremos los pasos a seguir para determinar la solución general de una E.D.O lineal de primer orden, te invitamos a ejercitar y resolverlo paso a paso.

PASOS PARA HALLAR LA SOLUCIÓN GENERAL DE UNA EDO LINEAL

EJEMPLO 2 Determinar la solución general de la E.D.O

\cos \left ( x \right ){y}' + \sin \left ( x \right )y = 1

Paso 1 Multiplicar la ecuación diferencial por \frac{1}{\cos \left ( x \right )} \therefore \left ( \cos \left ( x \right ) \neq 0 \right ), para que la ecuación quede de la forma

{y}' + \frac{\sin \left ( x \right )}{\cos \left ( x \right )}y = \frac{1}{\cos \left ( x \right )}

es decir

{y}' + \tan \left ( x \right )y = \sec \left ( x \right )

obteniendo una E.D.O lineal siendo P\left ( x \right ) = \tan \left ( x \right ) y Q\left ( x \right ) = \sec \left ( x \right )

Paso 2. Buscar el factor integrante, el cual depende sólo de x y viene dado por:

\mu \left ( x \right ) = e^{\int \tan \left ( x \right )dx} = e^{\ln \left ( \sec \left ( x \right ) \right )} = \sec \left ( x \right )

Paso 3. Multiplicar la ecuación diferencial obtenida en el paso 1 por el factor integrante \mu \left ( x \right ) y por dx

\sec \left ( x \right )dy + \tan \left ( x \right )\sec \left ( x \right )ydx = \sec^{2}\left ( x \right )dx

Paso 4. Sustituir e^{\int P\left ( x \right )dx}dy + e^{\int P\left ( x \right )dx}P\left ( x \right )ydx por el diferencial total de y\mu \left ( x \right ) , es decir, por d\left ( y\mu \left ( x \right ) \right ) quedando

\underset{d\left ( y\sec \left ( x \right ) \right )}{\underbrace{\sec \left ( x \right )dy + \tan \left ( x \right )\sec \left ( x \right )ydx}} = \sec^{2} \left ( x \right )dx

Por lo tanto se obtiene

d\left ( y\sec \left ( x \right ) \right ) = \sec^{2} \left ( x \right )dx

Paso 5. Integrar la ecuación obtenida en el paso 4

\int d\left ( y\sec \left ( x \right ) \right ) = \int \sec^{2} \left ( x \right )dx + C

al resolver se obtiene la solución general

y\sec \left ( x \right ) = \tan \left ( x \right ) + C

despejando y se tiene

y = \sin \left ( x \right ) + C\cos \left ( x \right )
Aprovechamos para seguir practicando y ejercitando el método para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden. Colocamos a tú disposición más EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN.

PASOS PARA HALLAR LA SOLUCIÓN GENERAL DE UNA EDO LINEAL

EJEMPLO 3 Determinar la solución general de la E.D.O

x{y}' + y = 1 - xy

Paso 1. Multiplicar la ecuación diferencial por \frac{1}{x} \therefore \left ( x\neq 0 \right ), para que la ecuación quede de la forma

 

{y}' + \frac{1}{x}y = \frac{1}{x} - y

ordenando y factorizando nos queda

{y}' + \left ( \frac{1}{x} + 1\right )y = \frac{1}{x}

obteniendo una E.D.O lineal siendo P\left ( x \right ) = \left ( \frac{1}{x} + 1 \right ) y Q\left ( x \right ) = \frac{1}{x}

Paso 2. Buscar el factor integrante, el cual depende sólo de x y viene dado por:

\mu \left ( x \right ) = e^{\int \left ( \frac{1}{x} + 1\right )dx} = e^{\ln\left ( x \right ) + x} = e^{\ln\left ( x \right )}e^{x} = xe^{x}

Paso 3. Multiplicar la ecuación diferencial obtenida en el paso 1 por el factor integrante \mu \left ( x \right ) y por dx

xe^{x}dy + \left ( xe^{x} + e^{x}\right )ydx = e^{x}dx

Paso 4. Sustituir e^{\int P\left ( x \right )dx}dy + e^{\int P\left ( x \right )dx}P\left ( x \right )ydx por el diferencial total de y\mu \left ( x \right ), es decir, por d\left ( y\mu \left ( x \right ) \right ) quedando

\underset{d\left ( yxe^{x} \right)}{\underbrace{xe^{x}dy + \left ( xe^{x} + e^{x} \right )ydx}} = e^{x}dx

Por lo tanto se obtiene

d\left ( yxe^{x} \right ) = e^{x}dx

Paso 5. Integrar la ecuación obtenida en el paso 4

\int d\left ( yxe^{x} \right ) = \int e^{x}dx + C

al resolver se obtiene la solución general

yxe^{x} = e^{x} + C

despejando y se tiene

y = \frac{1}{x} + \frac{C}{xe^{x}}