Solución de una EDO lineal de orden superior completa o no homegénea

En este post explicaremos de forma detallada como hallar la solución general de una EDO LINEAL COMPLETA. Te invitamos a seguir leyendo y tomar lápiz y papel para que ejercites los pasos necesarios para resolver una EDO lineal de orden superior de coeficientes constantes completa.

El método del operador inverso se emplea para hallar la solución general de la ecuación $P(D)y=q(x)$ , en el caso de que q(x) pertenezca al conjunto de funciones de la forma $\left\lbrace e^{ax},\, sen(ax),\, cos(ax), \, e^{ax}v,\, xv \, y \, x^{k}\right\rbrace$ ; sin embargo, sino se puede aplicar el operador inverso existe Variación de parámetros (haz click aquí para conocer más de este método).

Determinación de la solución general de una E.D.O Lineal de Orden Superior Completa P(D)y=q(x)

Si $y_{p}$ es una solución particular de la E.D.O completa, esto es, $P(D)y_{p}=q(x)$ y $y_{c}$ es la solución general de la ecuación diferencial homogénea asociada, esto es, $P(D)y_{c}=0$ , entonces la solución general de la E.D.O completa es

$y=y_{c}+y_{p}$

Existen varios métodos para hallar la solución particular de una ecuación diferencial no homogénea; sin embargo, sólo abordaremos el método del operador inverso y el método de variación de parámetros.

Propiedades del Operador Lineal P(D)

El operador lineal P(D) y el operador inverso $\dfrac{1}{P(D)}$ es una herramienta que emplearemos para hallar la solución de una EDO lineal de orden superior completa. Es por ello que los estudiaremos de forma detallada

$P(D)\left( c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}\right) =c_{1}P(D)y_{1}+c_{2}P(D)y_{2}$
$\left[ P(D)+G(D)\right] y=P(D)y+G(D)y$
$P(D)\left[G(D)\right] y=G(D)\left[ P(D)\right] y=\left[ P(D)G(D)\right] y$

Aplicaciones de P(D) a algunas funciones que dependen de x

Se evaluará la aplicación del operador lineal P(D) a las funciones $e^{ax}$ , $sen(ax)$ , $e^{ax}v$ , xv y $x^{k}$ donde a es una constante y v una función de x que admite derivada hasta el orden n; a través de las siguientes fórmulas:

1. $P(D)e^{ax}=P(a)e^{ax}$
2. $P(D)ve^{ax}=e^{ax}P(D+a)v$
3. $P(D)xv=xP(D)v+P^{\prime}(D)v$
4. $P(D^{2})sen(ax)=P(-a^{2})sen(ax)$
5. $P(D)sen(ax)=A(a)sen(ax)+B(a)cos(ax)$

El Operador Inverso $ 1/P(D) $

Dado el operador P(D), se dice que F(D) es el operador inverso de P(D), si P(D)F(D)=F(D)P(D)=I, siendo I la aplicación identidad. En lugar de F(D), suele denotarse $\dfrac{1}{P(D)}$ . Debido a que $D=\dfrac{d}{dx}$ , es natural designar

$\dfrac{1}{D}f(x)=\displaystyle{\int} f(x)dx$

ya que

$\dfrac{d}{dx}\displaystyle{\int} f(x)dx=f(x)=I$

De modo que para resolver la ecuación Dy=2x se aplica el operador inverso $1/D$ en ambos miembros

$\dfrac{1}{D}(Dy)=\dfrac{1}{D}(2x)$

o sea,

$y=\displaystyle{\int} 2xdx=x^{2}+c$

NOTA: es importante que tengas presente que en la determinación de una solución particular se omiten las constantes de integración que introduce el operador inverso debido a que el interés reside en buscar soluciones particulares de la ecuación diferencial completa $P(D)y=q(x)$ , por lo que esas constantes de integración solo formarán parte de la solución complementaria.

El operador inverso $\dfrac{1}{D^{k}}$ análogamente indicará k integraciones

$\dfrac{1}{D^{k}}= \underbrace{\displaystyle \idotsint ()(dx)^{k}}_{k-veces}$

Propiedades del Operador Inverso Lineal 1/ P(D)

$\dfrac{1}{P(D)}\left( c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}\right) =c_{1}\dfrac{1}{P(D)}y_{1}+c_{2}\dfrac{1}{P(D)}y_{2}$
$\left[ \dfrac{1}{P(D)}+\dfrac{1}{G(D)}\right] y=\dfrac{1}{P(D)}y+\dfrac{1}{G(D)}y$
$\dfrac{1}{P(D)}\left[\dfrac{1}{G(D)}\right] y=\dfrac{1}{G(D)}\left[ \dfrac{1}{P(D)}\right] y=\left[ \dfrac{1}{P(D)}\dfrac{1}{G(D)}\right] y$

Aplicaciones de 1/ P(D) a algunas funciones que depende de x

Se evaluará la aplicación del operador inverso 1/P(D) a las funciones $e^{ax}$ , $sen(ax)$ , $e^{ax}v$ , xv y $x^{k}$ donde a es una constante y v una función de x que admite derivada hasta el orden n; a través de las siguientes formulas:

1. $\dfrac{1}{P(D)}e^{ax}=\dfrac{1}{P(a)}e^{ax}$ si $P(a)\neq 0$
2. $\dfrac{1}{P(D)}e^{ax}=\dfrac{x^{k}e^{ax}}{k¡G(a)}$ si P(a) =0

Siendo k el orden de multiplicidad del factor (D – a) que anula a P(D) y $G(D)=\dfrac{P(D)}{(D-a)^{k}}$

3. $\dfrac{1}{P(D^{2})}sen(ax)=\dfrac{1}{P(-a^{2})}sen(ax)$ si $P(-a^{2})\neq 0$
4. $\dfrac{1}{P(D^{2})}sen(ax)=x^{k}\dfrac{1}{\frac{d^{k}}{dD^{k}}P(D^{2})}sen(ax)$ si $P(-a^{2})=0$
Siendo k el orden de multiplicidad del factor $(D^{2}+a^{2})$ que anula a $P(D^{2})$
5. $\dfrac{1}{P(D)}ve^{ax}=e^{ax}\dfrac{1}{P(D+a)}v$
6. $\dfrac{1}{P(D)}xv=x\dfrac{1}{P(D)}v-\dfrac{P^{\prime}(D)}{\left[ P(D)\right] ^{2}}v$
7. $\dfrac{1}{P(D)}sen(ax)=A(a)sen(ax)+B(a)cos(ax)$
8. $\dfrac{1}{P(D)}x^{k}=\left(b_{0}+b_{1}D+\cdots+b_{k}D^{k}\right) x^{k}$ , $k\in N$

Observación: las formulas 3, 4 y 7 también son validas para el cos(ax).

Ejemplo 1:

Aplicar el siguiente operador: $\dfrac{1}{D^{4}+5D^{2}+6}e^{2x}$
Solución:
Utilizando la formula 1, $\dfrac{1}{P(D)}e^{ax}=\dfrac{1}{P(a)}e^{ax}$ si $P(a)\neq 0$ que consiste evaluar el polinomio P(D) en el valor de a que en este caso es a=2, se tiene

$\dfrac{1}{D^{4}+5D^{2}+6}e^{2x}=\dfrac{1}{2^{4}+5(2^{2})+6}e^{2x}=\dfrac{e^{2x}}{42}$

Te invitamos a ver otros ejemplos resueltos paso a paso de como aplicar los operadores inversos haciendo click aquí.

Ejercicios Propuestos:

Aplicar el siguiente operador inverso: $\dfrac{1}{D^{3}+4D^{2}+5D+2}e^{-x}$ VER SOLUCIÓN
Aplicar el siguiente operador inverso: $\dfrac{1}{D^{4}+4D^{2}+2}sen(x)$ VER SOLUCIÓN
Aplicar el siguiente operador inverso: $\dfrac{1}{D^{5}+8D^{3}+16D}cos(2x)$ VER SOLUCIÓN
Aplicar el siguiente operador inverso: $\dfrac{1}{D+3}cos(2x)$ VER SOLUCIÓN

Determinación de la solución particular de una E.D.O Completa P(D)y=q(x) utilizando el Método del Operador Inverso

Para hallar la solución general de la ecuación, P(D)y=q(x), se debe conocer una solución particular $y_{p}$ de la ecuación diferencial dada y un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria $y_{c}$ .
En la determinación de una solución particular de la ecuación completa P(D)y=q(x) se aplica el operador inverso 1/ P(D) para obtener

$\dfrac{1}{P(D)}\left[ P(D)y_{p}\right] =\dfrac{1}{P(D)}q(x)$

o bien

$y_{p} =\dfrac{1}{P(D)}q(x)$

donde 1/ P(D) aplicado a q(x) puede representar la suma de n integrales si desarrollamos la fracción algebraica 1/ P(D) en suma de fracciones simples.

Integración de la Ecuación Completa P(D)y=q(x)

Para obtener la solución general de una ecuación no homogénea $q(x)\neq 0$ se sigue el siguiente procedimiento:
Paso 1: Obtener la solución complementaria u homogénea $y_{c}$ que resulta de hacer $q(x)= 0$ .

Si quieres ver algunos ejemplos resueltos paso a paso de como determinar la solución de una ecuación complementaria haz click aquí.

Paso 2: Obtener $y_{p}$ (solución particular) que resulta de aplicar el operador inverso:

$y_{p} =\dfrac{1}{P(D)}q(x)$

Paso 3: La solución general de la ecuación: P(D)y=q(x) viene dada por:

$y=y_{c}+y_{p}$

Ejemplo 2:

Determinar la solución general de la E.D.O

$y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6y=e^{x}$

SOLUCIÓN:
Al escribir la E.D.O en notación abreviada se tiene

$\left( D^{2}+D-6\right)y =e^{x}$

Paso 1: Obtener la solución complementaria u homogénea $y_{c}$ que resulta de hacer $q(x)= 0$ .
La ecuación característica asociada es

$\alpha^{2}+\alpha-6=0$

factorizando se obtiene
$\left(\alpha-2 \right)\left(\alpha+3 \right) =0 \rightarrow \begin{cases} \alpha = 2 & \text{ raiz real simple}\\ \alpha = -3 & \text{ raiz real simple} \end{cases}$
Así pues, como las raíces son reales y distintas la solución general de la ecuación homogénea o complementaria es:

$y_{c}=c_{1}e^{2x}+c_{2}e^{-3x}$

Paso 2: Obtener la solución particular $y_{p}$ que resulta de aplicar el operador inverso:

$y_{p} =\dfrac{1}{P(D)}q(x)=\dfrac{1}{D^{2}+D-6}e^{x}$

Utilizando la formula 1, $\dfrac{1}{P(D)}e^{ax}=\dfrac{1}{P(a)}e^{ax}$ si $P(a)\neq 0$ que consiste evaluar el polinomio P(D) en el valor de a que en este caso es a=1, se tiene

$y_{p} =\dfrac{1}{D^{2}+D-6}e^{x}=\dfrac{e^{x}}{1^{2}+1-6}e^{x}=-\dfrac{e^{x}}{4}$

Paso 3: La solución general de la ecuación: $P(D)y=q(x)$ viene dada por:

$y=y_{c}+y_{p}$

es decir que la solución general viene dada por la suma de las soluciones obtenidas, o sea

$y=c_{1}e^{2x}+c_{2}e^{-3x}-\dfrac{e^{x}}{4}$