Ejemplo resuelto determinante Wronskiano

A continuación se resolverá un ejemplo de Determinante Wronskiano para determinar si un conjunto de funciones dadas es linealmente dependiente o independiente. Te invitamos a tomar lápiz y papel y resolverlo paso a paso.

EJEMPLO RESUELTO PASO A PASO DE DETERMINANTE WRONSKIANO

Ejemplo

Indicar si el conjunto $\left \{ x, x^{2}, x^{3} \right \}$ es linealmente independiente en el intervalo $\left ( -\infty , \infty \right )$ .

SOLUCIÓN:

El determinante Wronskiano del conjunto $\left \{ x, x^{2}, x^{3} \right \}$ se determina de la siguiente manera

$W\left ( x, x^{2}, x^{3} \right ) = \begin{vmatrix} x & x^{2} & x^{3} \\ \\ \frac{d}{dx}\left ( x \right ) & \frac{d}{dx}\left ( x^{2} \right ) & \frac{d}{dx}\left ( x^{3} \right ) \\ \\ \frac{d^{2}}{dx^{2}}\left ( x \right ) & \frac{d^{2}}{dx^{2}}\left ( x^{2} \right ) & \frac{d^{2}}{dx^{2}}\left ( x^{3} \right ) \end{vmatrix}$

Derivando y resolviendo el determinante se tiene

$W\left ( x, x^{2}, x^{3}\right ) = \begin{vmatrix} x & x^{2} & x^{3} \\ 1 & 2x & 3x^{2} \\ 0 & 2 & 6x \end{vmatrix} = 2x^{3}$

Por lo tanto, de acuerdo al teorema del criterio para soluciones linealmente independientes el conjunto $\left \{ x, x^{2}, x^{3} \right \}$ es linealmente independiente $\forall x \in \mathbb{R} \wedge x\neq 0$ .

EJERCICIOS PROPUESTOS

Indicar si el conjunto de funciones $\left \{ e^{x}, xe^{x}, e^{-x}, xe^{-x}\right \}$ es linealmente independiente.
Dado el conjunto de funciones $\left \{ e^{x}, x\sin \left ( x \right ), x\cos \left ( x \right ) \right \}$ determinar empleando el determinante Wronskiano si es linealmente independiente.
Comprobar que el conjunto de funciones $\left \{ 1, x, \sin ^{2} \left ( x \right ), \cos ^{2} \left ( x \right )\right \}$ es linealmente dependiente.